Лабораторна робота № 2

Тема: Розробка алгоритму і програми для розв’язання задачі про покриття на множинах методом мінімального стовпчика - максимального рядка та методом ядерних рядків.

Мета: набути навиків застосування методу мінімального стовпчика - максимального рядка та методу ядерних рядків для побудови покриття на множинах.

Перелік рекомендованої літератури:

1. Горбашов В.А. Основы дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1984.-311с.

2. Новоселов В. Т., Сташков А.В. Прикладная математика для

инженеров - системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах.

Теоретичні відомості: Метод мінімального стовпчика - максимального рядка.

Покриття близьке до найкоротшого, дає наступний простий алгоритм перетворення таблиці покрить.

1. Вихідна таблиця вважається поточною перетвореною таблицею покрить, множина рядків покриття - порожня.

2. У поточної таблиці виділяється стовпчик з найменшим числом одиниць. Серед рядків, що містять одиниці в цьому стовпці, виділяється одна з найбільшим числом одиниць. Цей рядок включається в покриття, дана таблиця скорочується викреслюванням усіх стовпців, у яких обраний рядок має одиниці. Якщо в таблиці є не викреслені стовпці, то виконується п.2, інакше покриття побудоване. Помітимо, що при підрахунку числа одиниць у рядку враховуються одиниці в не викреслених стовпцях.

Метод ядерних рядків

1.2.6. Сокращение таблицы покрытий до циклической.

Теоремы о сокращении таблицы покрытий. Объем перебора существенно зависит от размеров таблицы покрытий, поэтому изложенные в данном разделе способы вычерчивания некоторых строк и столбцов таблицы покрытий имеют большое значение для сокращения перебора.

Теорема 1.3 /о ядре/. Если в столбце таблицы покрытий содержится единственная единица, то строка, имеющая эту единицу, входит во все покрытия. Эта строка называется ядерной.

Множество ядерных строк заранее выделяется и запоминается для введения во все покрытия. Ядерные строки из таблицы удаляются и вычеркиваются все покрытые ими столбцы, т.е. вычеркиваются все столбцы, в которых есть единицы в ядерных строках.

Теорема 1.4 /об антиядре/. Если после удаления ядерных строк и покрытых ими столбцов в таблице покрытий в какой-либо строке не остается единиц, то эта строка не входит ни в одно безызбыточное покрытие. Такие строки называются антиядерными и они вычеркивается из таблицы без запоминания.

Прежде, чем сформулировать следующие теоремы, напомним понятие поглощающего вектора: вектор Е поглощает вектор F /E≥F/, если для всех компонент e_i, f_i этих векторов можно одновременно записать:

/1.3/

Примеры. E = 1101, F = 0101, S = 1011, T = 1111

E≥F, E≤T, вектора E и S, F и S – несравнимы.

E - поглощающий вектор для F .

E - поглощаемый вектор для Т.

Теорема 1.5 /о поглощающих столбцах/. В таблице покрытий могут быть вычеркнуты все поглощающие столбцы /рассматриваемые как векторы/ без ущерба для построения всех беэыэбыточных покрытий.

Теорема 1.6 /о поглощаемых строках при поиске одного кратчайшего покрытия/. Если при решении задачи покрытия достаточно гарантировать получение хотя бы одного кратчайшего покрытия, то можно удалять все поглощаемые строки.

Теорема 1.7 /о поглощаемых строках при построении минимальных покрытий/. Если при решении задачи покрытия достаточно гарантировать построение всех /хотя бы одного/ минимальных покрытий, то можно вычеркивать поглощаемую строку, если цена ее больше /или равна/ цены поглощающей строки.

Примеры использования теорем. Таблица покрытий для примера 1.1 /см. рис.1.1/ не упрощается: в ней нет ни ядерных, ни антиядерных строк, ни поглощаемых столбцов, ни поглощаемых строк. Таблица покрытий для примера 1.2 /см. рис. 1.3/ тоже упрощается очень мало: в ней только столбец b₁ можно вычеркнуть как поглощающий, т.е. (b₁≥ b₄ , b₁≥ b₅ ).

Рассмотрим более информативный пример 1.3 /рис.1.4/.

В столбцах b₃ и b₄ по одной 1 в каждом, поэтому строки А₃ и А₅ , содержащие эти 1, являются ядерными. Эти строки запоминаем для введения во все безыэбыточные покрытия этой таблицы и после удаления этих строк и всех покрытых ими столбцов, таблица покрытий сократится до таблицы /рис. 1.5/. Можно таблицу не перечерчивать, а вычеркнуть соответствующие строки и столбцы непосредственно на рис. 1.4.

На рис. 1.5 строка А₆ не содержит 1, эта строка является антиядерной и ее вычеркиваем из таблицы.

Столбец b₇ ≥b₂, поэтому поглощающий столбец b₇ вычеркиваем. Прежде чем перейти к дальнейшим упрощениям еще раз перечертим оставшуюся таблицу.

На рис. 1.6 строка А₂ поглощается строкой А₁ (А₂≤А₁) . Возможно несколько разветвлений процесса решения.

1. Если строятся все беэызбыточные покрытия, то никакие сокращения строк делать нельзя и таблица /рис. 1.6/ далее не упрощается.

2. Если ищутся минимальные покрытия, то согласно теореме 1.7 нужно обратить внимание на цены a_i строк: А₂≤А₁ и a₂<a₁, поэтому року А_г нельзя вычеркивать и таблица также не упрощается.

3. Если ищем одно кратчайшее покрытие, то строку A₂ как поглощаемую» можно вычеркнуть. Тогда строка A₁ становится ядерной, так как в столбце b₂ останется единственная единица. Строка А₁ добавляется множеству ядерных строк –{A₁, А₃, А₅} , таблица покрытий упрощается: вычеркивается строка А₁ и покрытые ею столбцы b₂ и b₆ Оставшаяся таблица /рис. 1.7/ не упрощается.

Алгоритм сокращения таблицы покрытий. Используя теоремы 1.3 - 1.7, можно упростить таблицу покрытий, запомнив ядерные строки. Возможны два исхода процесса решения.

1. Таблица покрытий после упрощений становится пустой – вычеркнуты все столбцы. В этом случае множество ядерных строк - требуемое покрытие.

2. Остаток таблицы покрытий более не упрощается приемами, предлагаемыми теоремами 1.3-1.7. Получаем циклический остаток таблицы покрытий. Покрытая для циклического остатка таблицы можно строить только методами перебора покрытий: граничным перебором или разложением по столбцу /см. подразд. 1.9/, Когда к ядерным строкам добавляются строки покрытия циклического остатка, получается покрытие исходной таблицы покрытий. Сформулируем алгоритм построения циклического остатка таблицы покрытий и множества ядерных строк для случая построения одного кратчайшего покрытия.

0. Считаем исходную таблицу покрытий текущей таблицей покрытий, а множество ядерных строк - пустым.

1. Находим ядерные строки, запоминаем множество ядерных строк. Текущую таблицу покрытий сокращаем: вычеркиваем ядерные строки и все столбцы, покрытые ими.

2. Вычеркиваем антиядерные строки.

3. Вычеркиваем поглощающие столбцы.

4. Вычеркиваем поглощаемые строки.

5. Если в результате выполнения шт. 1-4 текущая таблица покрытий изменилась, снова выполняем п.1, иначе преобразования заканчиваем.

Подчеркиваем еще раз, что получаются два результата - множество ядерных строк и циклический остаток таблицы покрытий. Таблица покрытий примера 1.1 - циклическая, множество ядерных строк – пусто. Для примера 1.3 множество ядерных строк содержит три элемента - –{A₁, А₃, А₅}; циклический остаток при построении одного кратчайшего покрытия показан на рис. 1.7.

При сокращении таблицы покрытий до циклической при построении одного минимального покрытая изменяется только п.4 алгоритма, который формулируется следующим образом:

вычеркиваются поглощаемые строки, веса которых не меньше весов соответствующих поглощаемых строк.

Для примера 1,3 в этом случае множество ядерных строк {А₃, А₅} циклический остаток таблицы покрытий показан на рис. 1.6.

При сокращении таблицы покрытий до циклической при условии построения всех безызбыточных покрытий п.4 алгоритма не выполняется: в этом случае нельзя вычеркивать никакие поглощаемые строки. Ответ для примера 1.3 тот же, что и при построении одного минимального покрытия.