Ю.Н. Колмаков, Ю.А. Пекар, Л.С. И.М. Лагун, Л.С. Лежнева. Механика и теория относительности. Лекции. / mech-lec-TulGU

В этом случае ω рез ≈ ω0 , и резонансная амплитуда вынужденных колебаний может намного (на несколько порядков!) превосходить так назы-

ваемое статическое смещение осциллятора x стат = A ωвн→0 = mFω0 0 .

Объясним такое резкое возрастание амплитуды. Для этого найдем величину силы сопротивления при частоте резонанса, т.е. при ωвн ≈ ω0 :

Величина _= ω2β0 , характеризующая величину резонанса, называ-

ется добротностью осциллятора.

Отметим также, что резонанс существует не только для амплитуды смещения, но и для амплитуд скорости и ускорения. Так, скорость вынуж-

На практике явление резонанса используют для выделения и усиления гармонического колебания с определенной частотой. Такие осцилли-

рующие системы с малым коэффициентом затухания β называют резо-

наторами. Их амплитудно-частотная характеристика имеет вид очень узкого пика (рис.9.22).

Любую внешнюю силу (периодическую и даже не периодическую) можно представить в виде ряда или интеграла Фурье (смотри §9.1), т.е. в виде суперпозиции гармонических сил с разными частотами. В резонаторе, согласно рис.9.22, будет усилено только гармоническое колебание с частотой ω = ωрез .

Примером может служить простейший акустический резонатор, стенки (мембраны) которого колеблются совместно и заставляют смещаться слои воздуха между ними (рис.9.23). При этом создаются колебания плотности ρ воздуха (стоячие звуковые волны). Эти колебания должны проис-

ходить согласованно с движением мембран, т.е. в резонаторе могут устано-

т.е. по заданной функции U (x) можно найти (хотя бы в квадратурах) пе-

риод колебаний любой системы.

Пример: для математического маятника, совершающего колебания с произвольной (не малой) амплитудой (рис.9.25)

где ϕ0 – наибольший угол отклонения (амплитуда)

маятника. Полученный интеграл не выражается в элементарных функциях и является эллиптическим Рис.9.25 интегралом 1-го рода. Найденный период колебаний не совпадает с простой формулой (9.8) и зави-

сит нетолькоотдлины l , ноиотмассы m , иотамплитуды ϕ0 маятника! Если при измерении времени используются формулы (9.7) или (9.8), то колебания маятников обязаны быть малыми, с амплитудой ϕ0 <50 .

9. Параметрические колебания и автоколебания

Колебания в системе с меняющимися со временем параметрами называются параметрическими.

Примером такой системы является математический маятник с перекинутой через блок нитью (рис.9.26), длину l которой можно менять,

подтягивая и отпуская нить. Уравнение малых колебаний такой системы имеет вид:

Если изменение параметров производить периодически с периодом, кратным собственному периоду колебаний самой системы, то можно раскачать систему до больших амплитуд – это явление называется параметрическим резонансом. Конечно, для такой раскачки необходимо приложить к осциллятору внешнюю периодическую силу F (рис.9.26).

Подобное параметрическое усиление амплитуды колебаний происходит при раскачивании качелей (рис.9.27). Стоящий на качелях человек в верхней точ-

ке траектории распрямляется, совершая работу по поднятию центра масс С и увеличению потенциальной энергии, а в нижней точке – приседает, увеличивая кинетическую энергию движения.

Автоколебания – это незатухающие колебания в нелинейной диссипативной системе, поддерживаемые за счет энергии внешнего источника, параметры которого (амплитуда, частота, фаза) определяются свойствами самой осциллирующей системы.

При этом, в отличие от рассмотренных выше вынужденных колебаний, не требуется периодического воздействия извне; потери энергии (диссипация) в точности компен-

сируются поступлением энергии от постоянного внешнего источника. Примерами таких систем являются:

скрипичная струна, маятник в механических часах, ламповый (или транзисторный) генератор радиоволн. Например, в механических часах энергия сжатой пружины с помощью так называемого анкерного механизма порциями поступает к колеблющемуся маятнику, поддерживая незатухающие колебания.

Рассмотрим подробнее автоколебания скрипичной струны.

Двигаясь с постоянной скоростью

v см , смычок захватывает струну (рис.9.28). Напомним, что перед игрой

смычок обязательно канифолят, чтобы увеличить силу сцепления его со струной.

С ростом смещения струны x растет и сила ее натяжения N (участок "а" на рис. 9.29). Когда проекция силы натяжения на направление смещения превысит си-

лу трения покоя Fтр. пок. , смычок начинает

скользить по струне. Так как сила трения скольжения всегда меньше силы трения покоя, то скорость струны сначала падает (участок "б"), а затем под действием сил натя-

жения N струна движется в обратном направлении (участок "в"), тормозится и снова начинает двигаться в ту же сторону, что и смычок (участок "г"). Заметим, что амплитуда при отрицательных смещениях меньше, чем при положительных, по причине действия силы трения скольжения. Когда

скорость струны сравняется с v см , смычок снова "захватывает" струну, и

процесс повторяется.

Подобные автоколебания возникают при скрипе отворяемой двери или в скрипучей обуви – при смещении (деформации) тела начинает вибрировать небольшой его участок. Неприятный звук связан с тем, что периодическая кривая на рис.9.29 лишь отдаленно похожа на график гармонической функции. Разложив функцию в ряд или интеграл Фурье,

получим совместное звучание множества гармоник с близкими частотами. Для выделения из этой смеси мелодичного звука с одной частотой рядом со струной располагают акустический резонатор (полый корпус

скрипки). Чем чище выделяемый звук, тем дороже скрипка.

Глава 10

Лагранжев метод в механике

1. Обобщённые координаты. Лагранжиан

Числом степеней свободы системы называется минимальное число независимых координат, необходимых для полного описания положения (состояния) системы.

Примеры. 1) Свободная частица имеет три степени свободы – её положение определяется тремя координатами, в качестве которых можно взять, например, декартовы координаты x, y, z (рис.10.1).

Рис.10.1 Рис.10.2 Рис.10.3 2) Две частицы, которые движутся независимо, имеют шесть степе-

ней свободы (рис.10.2). Точно так же система из N частиц (газ) имеет, вообще говоря, 3N степеней свободы.

3) Но если эти N частиц образуют абсолютно твёрдое тело, т.е. расстояния между частицами в процессе движения не меняются, то число независимых координат уменьшается до шести, так как положение такого тела задается, например, координатами центра масс xC , yC , zC и углами

поворота вокруг координатных осей. Иначе говоря, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы (рис.10.3).

И вообще, ограничивая свободу движения частицы (тела), т.е. фиксируя какую-либо координату, мы тем самым уменьшаем число степеней свободы рассматриваемой системы.

торая имеет всего пять степеней свободы xC , yC , zC , ϕx , ϕz (рис.10.4).