Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балаковский институт техники, технологии и управления

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод.указания по математике _к.р.1_-УПТС-заоч.,заоч.сокр

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

264.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Исследуемая функция, как следует из таблицы 1, имеет максимум в точке х=0 (у(0)=0) и минимум точке х=2 (у(2)=4). Точка х=1 не является точкой экстремума, так как функция не определена в этой точке.

Пример 14. Найти асимптоты функции y = x . x −1

Р е ш е н и е. Точка х=1 является точкой разрыва функции.

	2
Так как	lim	x		= ±∞ , то прямая х=1 служит вертикальной асимптотой дан-

	x→1± x −		1

ного графика.

Ищем наклонные асимптоты у=kx+b, используя формулы (47):

k = lim

f (x)

lim

x 2

= lim

= 1 ,

x→±∞ x

x →±∞ x(x − 1) x→±∞ 2x − 1

b = lim ( f (x) − kx) = lim (

− x) =

lim

= 1.

x − 1

− 1

x→±∞

x→±∞ x

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у=х+1.

Пример 15. Построить график функции y =

, используя общую схему ис-

x −1

следования функции.

Р е ш е н и е. 1) Область определения: ]− ∞,1[ ]1,+∞[.

1)Функция не является симметричной и периодической.

2)График функции имеет одну вертикальную асимптоту х=1 и одну наклонную асимптоту у=х+1 (пример 14).

3)График пересекает оси в точке (0,0).

4)Как было показано выше (пример 13), функция имеет один максимум при х=0 и один минимум при х=2.

5)Вторая производная

	2		′		2
x		− 2x
y′′ =				=
		2			3
		−1)			(x −1)
(x

ни в одной точке не равна нулю и обращается в бесконечность при х=1. При переходе через точку х=1 направление выпуклости изменяется (таблица 2), но эта точка не является точкой перегиба, поскольку функция в ней не определена.

			Таблица 2
х	]− ∞,1[	1	]1,+∞[
y//	-	¥	+
y	Ç	не опр.	È

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис.2). Пример 16. Найти частные производные

∂u ,	∂u ,	∂u	функции u =	x	+ 4 y	2 z +	z	у
								.
		∂z		y
∂x	∂y						x

Р е ш е н и е. Считая функцию u функцитолько одной переменной х, а переменные у и z рассматривая как постоянные, ходим

∂u = 1 − z . ∂x y 2

Аналогично, считая u функцией только у, затем – только z, получаем

∂u = −	x	+ 8 yz ,	∂u = 4 y 2 +	1	.
∂u = −		+ 8 yz ,	∂u = 4 y 2 +		.
∂y	2		∂z	x
	y

ей

на-

Рис.2. График функции

Контрольные задания

Задание I. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4)объем пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.

1.А1(-1; 2; 1), А2(-2; 2; 5), А3(-3; 3; 1), А4(-1; 4; 3).

2.А1(-1; 1; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1).

3.А1(1; 1; 2), А2(0; 1; 6), А3(-1; 2; 2), А4(1; 3; 4).

4.А1(-1; -2; 1), А2(-2; -2; 5), А3(-3; -1; 1), А4(-1; 0; 3).

5.А1(2; -1; 1), А2(1; -1; 5), А3(0; 0; 1), А4(2; 1; 3).

6.А1(-1; 1; -2), А2(-2; 1; 2), А3(-3; 2; -2), А4(-1; 3; 0).

7.А1(1; 2; 1), А2(0; 2; 5), А3(-1; 3; 1), А4(1; 4; 3).

8.А1(-2; -1; 1), А2(-3; -1; 5), А3(-4; 0; 1), А4(-2; 1; 3).

9.А1(1; -1; 2), А2(0; -1; 6), А3(-1; 0; 2), А4(1; 1; 4).

10.А1(1; -2; 1), А2(0; -2; 5), А3(-1; -1; 1), А4(1; 0; 3).

Задание II. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

− х1 + 2х2 + х3 = 5					− 2х2 − 5х3 = −12			− 3х1 + х2 + 3х3 = 10
									− 2х2 − х3 = −4
11. 2х1 − 3х2 + 3х3 = 1				12. − 2х1 − х2 + 3х3 = 7				13.	− 2х2 − х3 = −4
	х2 − 5х3 = −9				− х1 + х2 + х3 = 4				2х1 − х2 + 3х3 = 3
	х2 − 5х3 = −9				− х1 + х2 + х3 = 4				2х1 − х2 + 3х3 = 3
	− х + 2х = 5			2х − х − 6х = −15					− х + х − х = 0
		1	3		1	2	3		1 2	3
14. 2х1 + 2х2 + 5х3 = 10				15.	3х1 − х2 + х3 = −2			16. 3х1 − 4х2 + 3х3 = −1
	3х − 2х + 2х = −1					− х + 3х = 7			− 2 х − 3х = −8
	1	2	3			1	3		2	3
2х1 − х2 + х3 = −1					3х1 − 2х2 = −5				х1 − 3х2 + х3 = −2
	− х1 + 3х3 = 7
17.	− х1 + 3х3 = 7			18. х1 − 2х2 + х3 = −1				19. х1 − 2х2 − 4х3 = −11
	х + х + 3х = 6				х + 3х − х = 0				− 2х − х = 1
	1 2	3			1	2	3		1	2
	− х	+ 3х	= 4
	1	3

20.3х1 − 2х2 + х3 = −32х1 + х2 − х3 = −3

Задание III. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

21. 1)

3x2

− 5x

ln(x + 4)

ln(1 + sin

2 x)

lim

;

lim

; 3) lim

;

ex2

x→∞ − 5x2

+ x −1

x→−2 ctg(x + 2)

x→0

−1

lim (3 + 2x)5 /(x+1).

x→−1

22. 1) lim	− 2x2 + 7x + 2
	x2	;
x→∞		− 5x

4) lim (1 + 3x2 )1/(2 x2 ).

x→0

2) lim	2x −1	; 3) lim	arcsin(4 − x)	;

x→0,5−0 ln(0,5 − x)		x→4	ln(x − 3)

		− 4x2 − x
23. 1)	lim		;

	x→∞ 3x2 + 7x −1
4)	lim (5 − x)−2 /(x−4) .
	x→4
		2x2 − 2x + 5
24. 1)	lim			;

	x→∞	− 5x2 + 3x
4)	lim (7 + 2x)4 /(x+3).
	x→−3

tg(π / 4 + πx / 4)

lim

; 3) lim

;

− cos(2 / x)

ex+1

x→+∞ 1

x→−1

−1

ln(1 − x2 )

ln(1 − sin2 3x)

lim

;

lim

;

x→1−0 sin(3x −1)

x→0

25. 1)

lim

− x2 − x

;

lim

ex−3

;

lim

2 (π − 3x)

;

x→∞ 22x2 + 3x + 2

x→3 x2 − 5x + 6

x→π .3 (3x − π )2

lim (2x − 3)−3 /(4−2 x) .

x→2

2х+1

26. 1)

− 3x2 + 5x + 2

;

ctg(πx / 2)

lim

;

lim

;

x→∞

x2 + 4x

x→0 ln(1 +

)

x→1

−1

lim (1 − 5x2 )−3 / x2 .

x→0

− 3x

2 + 5x

sin(1/ x)

e5x −1

27. 1)

lim

;

lim

;

lim

;

+ 4

x→∞ x2

4x + 3

x→∞ 3x2

x→0 ln(1 − 3x)

lim (9 + 2x)6 /(x+4) .

x→−4

2 + 6x −1

tg(π / 2 − 2x)

1 − tgx

28. 1)

lim

;

lim

;

lim

;

sin 5x

x→∞ −

2x2 + 3x

x→0

x→π / 4 sin(π / 4 − x)

lim (− 3 − 2x)−2 /(x+2).

x→−2

29. 1)	lim	− 7x2 + 4x		; 2) lim	ctg(x − 3)	;
			2 − x + 2		2x
	x→∞ 3x			x→3

3)	lim	2x + 4	;

	x→−2 arcsin(x + 2)

4) lim (2 − x)−3 /(x−1) .

x→1

6x2 − 3x −1

x2 + 4x − 3

1 − cos6x

30. 1)

lim

; 2)

lim

; 3)

lim

;

tg(x + 1)

x→∞ − 4x2

+ 2x

x→−1

x→0 e− x

−1

lim (4 − x)1/(6−2x) .

x→3

Задание IV. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа

z = z1+z2. Изобразить числа z1, z2, z3 на комплексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра.

Номер	z1	z2	Номер	z1	z2
задачи			задачи
31.	-2	2(сos(4π / 3) + i sin(4π / 3))	32.	-2i	2(сos(5π / 6)+ i sin(5π / 6))
33.	-2	2(сos(π / 3) + i sin(π / 3))	34.	-2i	2(сos(11π /12) + i sin(11π /12))
35.	2	2(сos(4π / 3)+ i sin(4π / 3))	36.	-2i	2(сos(π / 6)+ i sin(π / 6))
37.	2	2(сos(5π / 3)+ i sin(5π / 3))	38.	2i	2(сos(7π / 6) + i sin(7π / 6))
39.	2	2(сos(2π / 3)+ i sin(2π / 3))	40.	-2	2(сos(5π / 6)+ i sin(5π / 6))

Задание V. Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных.

, 2) y = sin 4 (x

4), 3) y = e

arctg(x

)

41. 1) y =

, 4) x = arctg(t 2 ), y = ln(1

+ t 4 ).

57 x5

, 2) y = tg 5 (2x

5 ), 3) y = cos(ln(1 − x2 )) , 4) x = arccost, y =

42. 1) y =

(1 − t 2 )3 .

34 x3

43. 1) y =

, 2) y = cos3 (4x

3 ), 3) y = ctg(e7 x ), 4) x = ln(5 − 2t), y = arctg(5 − 2t).

65 x6

−4t

, 2) y = ctg 4 (x

4), 3) y = arcsin 3

44. 1) y =

4 −

5x , 4) x = te

, y = (1 − 4t) .

73 x7

45. 1) y =

, 2) y = ln5 (x 5 ), 3) y = earcsin(2x −4) , 4) x = tg(1 − 2t ), y =

43 x4

cos

(1 − 2t )

46. 1) y =

, 2) y = arcsin4 (5x

3 ), 3) y = ln(x − cos3x), 4) x = sin3 t, y = cos3 t − 4.

75 x7

−5t

47. 1) y =

, 2) y = arccos

, 3) y = sin ln(x

+ 1), 4) x = te

, y =

(5t − 1) .

48. 1) y =

, 2) y = arcctg5 (2x

5 ), 3) y = tg(e5−2x ), 4) x = cos3 (2t ), y = sin3 (2t).

56 x5

49. 1) y =

, 2) y = arctg3 (4x

3 ), 3) y = ln(2 − cos2 x), 4) x =

, y = tg(3t ).

(2t )

67 x6

sin

50. 1) y =

, 2) y = sin

, 3) y = ln(3x

− tg 2x), 4) x =

1 − t

, y = arcsint.

Задание VI. Построить график функции у=f(х), используя общую схему исследования функции.

51.	у=х3+6х2+9х+4	52. у=х3+3х2-9х+5		53. у=х3+6х2-15х+8
54.	у=х3-3х2-24х-28	55.	у=х3+12х2+45х+50	56. у=х3-6х2+9х-4
57.	у=х3-3х2-9х-5	58.	у=х3-6х2-15х-8	59. у=х3+3х2-24х+28
60.	у=х3-12х2+45х-50

Задание VII. Найти частные производные первого порядка:

61. z=cos(х3y)+х2+y	62. z=arcsin(4хy)+х2y	63. z=tg(3х3-2)+8y
64. z=3xy-4y	65. z=5х3+2yх2+e2xy	66. z=cos(х3-6)+9х-4
67. z=ln(3хy5)-yх2-25	68. z=ctg(х+4y2)-4хy-8	69. z=arctg(х-y)+хy-8
70. z=e2x-y sin(3y)

Таблица вариантов

Вариант		Номера заданий

1	1	11	21	31	41	51	61
2	2	12	22	32	42	52	62
3	3	13	23	33	43	53	63
4	4	14	24	34	44	54	64
5	5	15	25	35	45	55	65
6	6	16	26	36	46	56	66
7	7	17	27	37	47	57	67
8	8	18	28	38	48	58	68

9	9	19	29	39	49	59	69
10	10	20	30	40	50	60	70

Л и т е р а т у р а

Основная

1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Р.Федин, Ю.А.Шевченко. - 4-е изд. - М.:Айрис-пресс,

2005. - 576 с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д.Т.Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2009. - 608 с.

3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. М.: ОНИКС 21 век. Изд-во Мир и образование, 2006.

4.Беклемишев Д.В.. – Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – изд. 12 – е, испр. – М.: ФИЗМАТ – ЛИТ, 2008. – 312 с.

Дополнительная

5.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.

6.Зимина О.В. Высшая математика / О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А.Сальников; под ред. А.И.Кириллова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 368 с.

7.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты. Учебное пособие для ВУЗов. Лань. 2008.

8.Бугров Я.С. – Высшая математика: В 3 – х т.: Учеб. для вузов. Т.1. – Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – 9- е изд. стереотип. – М.:

ДРОФА, 2008. – 284 с.: ил.

9.Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов ( под ред. Н.Ш. Кре-

мера) – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2009. – 497 с.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.201931.3 Кб2Материнская плата.docx
#
01.07.202532.66 Mб5МДК 01.01 Оборудование - лекция.doc
#
15.05.201588.74 Кб80Мерзлые грунты.docx
#
01.07.2025135.18 Кб0метл 31 курсовая.docx
#
15.05.2015168.35 Кб18Метод. ук. МНК.docx
#
18.03.2016264.27 Кб5Метод.указания по математике _к.р.1_-УПТС-заоч.,заоч.сокр..pdf
#
01.05.2025604.67 Кб0Методика на 3-й лист.doc
#
01.07.20251.23 Mб0Методическая разработка по процессам и аппаратам2.docx
#
31.08.201942.48 Кб4Методические рекомендации.docx
#
09.11.2019203.78 Кб4Методические указания Управление затратами Час...doc
#
27.11.20182.66 Mб1методичка для ХМТН, ИФСТ полн. и сокр..doc