29) Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.(достаточный признак сходимости).

Если члены знакочередующегося ряда  удовлетворяют условиям: 1) для любого n∈N; 2) , то ряд  сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. S ≤ a1.

30) Степенной ряд. Теорема Абеля.

Функциональные ряды вида , где  (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z=-а, получим ряд  (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема Абеля . Если степенной ряд (2) сходится при z=0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<||; а если этот ряд расходится при z=0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>||.

а) Пусть ={z: | z|<||}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса ||, и пусть z – произвольная точка круга , т.е. |z|<||, поэтому q=|z/|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке , то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности {},т.е. M. Используя неравенство (3) и (4), получаем ||=||*| z/M, где . (5) Так как ряд, где, сходится, то по признаку сравнения сходится ряд ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга .

б) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке такой, что ||<||, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке .

31) Радиус сходимости степенного ряда. Интервал сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда. Так называют радиус круга сходимости степенного ряда  на комплексной плоскости (или степенного ряда  на действительной числовой оси), т.е. такое число r, что ряд сходится при |z| < r (соответственно при |x| < r) и расходится при |z| > r (соответственно при |x| > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:

 (Формула Даламбера);  (Формула Коши).

Интервал сходимости. Так называется интервал, в каждой точке которого степенной ряд с действительными членами сходится, причем абсолютно. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расходится. Заметим, что интервал сходимости существует для каждого сходящегося хоть на каком-нибудь интервале степенного ряда. Для ряда, сходящегося только в одной точке, интервал получается вырожденным. Для расходящегося ряда интервал равен пустому множеству.

Для степенного ряда радиус R (половина длины) интервала сходимости можно вычислить по формуле Коши-Адамара:причем считают, что если этот верхний предел равен нулю, то ряд сходится на всей числовой оси (радиус сходимости бесконечен), а если предел равен бесконечности, то радиус сходимости равен нулю.

Верхний предел числовой последовательности {a_n} – наибольший из пределов частичных подпоследовательностей, которые можно составить из членов данной последовательности. Он обозначается как