Тема 1. Числовые множества и последовательности.

1. Определения

Сформулируйте определение:

1. ограниченного множества вещественных чисел;

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

1.Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.

2.Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число А≥0, такое что любое n |xn| ≤ A.

2. ограниченного сверху множества вещественных чисел;

Множество является ограниченным сверху если существует число такое, что для любого из множества ,

3. ограниченного снизу множества вещественных чисел;

Множество является ограниченным снизу если существует число такое, что для любого из множества ,

4. неограниченного множества вещественных чисел;

Множество {х} называется неограниченным, если каково бы ни было положительное вещественное число А, найдётся элемент х* этого множества, такое, что |x*|>A.

5. неограниченного сверху множества вещественных чисел;

Последовательность ограничена сверху, если все ее элементы принадлежат промежутку ( - ∞, M]

6. неограниченного снизу множества вещественных чисел;

Последовательность ограничена снизу, если все ее элементы принадлежат промежутку [m, + ∞)

7. окрестности данной точки;

окрестность точки «С» называется любой интервал, содержащий точку «С».

(С-є;С+ є)

8. є –окрестности данной точки

эпсилон окрестностью точки x₀ называется интервал длины 2 с центром в точке x₀

є- радиус окрестности, окрестность точки «С»

9. проколотой окрестности данной точки;

проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где V — окрестность x.

10. предельной точки числового множества;

Предельной точкой некоторого множества А называется точка, в любой окрестности которой содержатся точки множества А.

11. верхней грани числового множества;

Если — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. ("супремум")

12. нижней грани числового множества;

Если — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. ("инфимум")

13. точной верхней грани числового множества;

число х(с палочкой сверху) называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества {х}, если

1)для всех элементов множества {х} справедливо х≤х(с палочкой сверху);

2)для любого положительного (коль угодно малого) вещественного числа є найдётся хотя бы один элемент х* множества {х}, удовлетворяющий неравенство х(с палочкой сверху)-є < х*≤ х(с палочкой сверху)

наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {х} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом х=sup{x} (supremum-наивысшее)

14. точной нижней грани числового множества;

число х(с палочкой снизу) называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества {х}, если

1)для всех элементов множества {х} справедливо х≥х(с палочкой снизу);

2)для любого положительного (коль угодно малого) вещественного числа є найдётся хотя бы один элемент х* множества {х}, удовлетворяющий неравенство х(с палочкой снизу) ≤ х* < х(с палочкой сверху)+ є

наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {х} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом х=inf{x} (infimum-наинизшее)

15. числовой последовательности;

пусть каждому натуральному числу nєN поставлено в соответствие по определённому правилу или закону вещественное число хn. Тогда множество занумерованных вещественных чисел х1, х2, х3,…, хn, … называется числовой последовательностью.

16. ограниченной последовательности;

Числовая последовательность {х_n} называется ограниченной, если существуют числа m и M, такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам

m ≤ x_n ≤ M.

17. неограниченной последовательности;

 Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

(x_n) неограниченная

18. многотонной последовательности;

числовая последовательность {xn} называется монотонной (неубывающей или невозрастающей), если для любого nєN справедливо xn+1<xn или xn+1>xn.

19. предела последовательности;

Число называется пределом последовательности , если:

Записывают:

20. бесконечно малый последовательности;

числовая последовательность {an} называется БМП, если для любого положительного вещественного числа є (сколь бы малым оно ни было) существует номер n°, зависящий от є, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n°(є), справедливо |аn|< є.

21. бесконечно большой последовательности;

числовая последовательность называется ББП, если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n° зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n° справедливо |xn|>A.

2. Основные теоремы (без доказательства)

Сформулируйте:

2.1 теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей;