26) Числовой ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.

Формальный символa1 + a2 + . . . = называется числовым рядом. При этом величинаa_nназывается n-м членом ряда, а последовательность (a_n) общим членом ряда.

Если последовательность S_n=а₁+…+a_n… сходится, то ряд называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. S_n – n-ая частная сумма ряда, а предел последовательности частных сумм – суммой ряда, к которой сходится ряд.

Свойства: 1) Если отбросить конечное число первых членов ряда или добавить в качестве первых членов, то сходимость ряда не изменится, т.е если ряд был сходящимся, то он останется сходящимся, а если расходился, то и исправленный будет расходится.

2)Ряд, образованный сложением одноименных членов сходящихся рядов, называемый суммой рядов, также сходится, причем сумма его есть сумма сумм слагаемых рядов.

3)Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то получим сходящийся ряд, причем, если сумма ряда была равна S, то сумма нового ряда была равна cS.

4)Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Условие сходимости. Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

Доказательство: Пусть общий член ряда a_n, а его частная сумма S_n. Тогда a_n=S_n-S_n-1. Так как ряд сходится, то

Следовательно, и теорема доказана.

27) Признаки сходимости положительных рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши).

Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами  и и каждый член ряда  не превосходит соответствующего члена ряда , т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд , то сходится и ряд . Если ряд  расходится, то ряд   также расходится.

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел ,то оба ряда с положительными членами  и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Даламбера. Если для рядасуществует предел,то ряд сходится, если D<1 и расходится, если D>1.

 Признак Коши (радикальный).Если для ряда   существует предел ,  то ряд  сходится, если С<1, и расходится, если С>1.

Интегральный признак Маклорена – Коши. Этот признак построен на идее сравнения ряда с несобственным интегралом. Представим ряд с положительными членами в виде , где f (n) = un — значение некоторой функцииf(x) при x = n, определенной в области x≥1. Если f(x) при x≥1 непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд  сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл , т.е. существует конечный предел .

28) Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Пусть ряд a1+a2+…+an+… имеет как положительные, так и отрицательные члены.

Определение.  Ряд  a1+a2+…+an+..называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |a1|+|a2|+…+|an|+..составленный из абсолютных величин соответствующих членов ряда.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Определение. Ряд   называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд  расходится.