17)Формула Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина

Если , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный

Формула Грина в векторной форме записывается в виде

18) Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла

Полагая в формуле Грина Q=x, P=0, а затем Q=0, P= -y и учитывая, что (поG), где S – площадь области G, получим выражения для площади области через криволинейные интегралы по её границе: S = (поL), S = - (поL).

Пусть α и β — произвольные числа такие, что α +β=1. Умножая равенства на α и β и складывая, получим еще одну формулу для площади: S = (поL).

19) Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M₀M - гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интегралаот формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема. Теорема: Пусть функции P, Q, P'_y, Q'_x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой: 1) , где L - замкнутый контур в области D; 2) интегралне зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M₀ и М; 3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y); 4)

в каждой точке области D.

20) Тройной интеграл.

Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V называется конечный предел её интегральной суммы при d стремящемся к 0: .Если функцияf(x,y,z) непрерывна в ограниченной области V, то указанный предел существует и конечен(не зависит от способа разбиения области V на элементарные и от выбора точек Мк).

21) Вычисление 3го инт. С помощью повт. Инт-ия.

T={(x,y,z): (x,y)€G, z1(x,y)<=z<=z2(x,y)}; zi(x,y), i=1,2; непрер. в G, z=z2(x,y),z=z1(x,y)

Пусть 1)существует ⌠⌠⌠f(x,y,z)dxdydz, 2)для любых точек (х,у)принадл. G существует ⌠отz1(x,y)доz2(x,y) f(xyz)dz=J(x,y) следует существ. ⌠⌠отG J(x,y)dxdy=⌠⌠⌠отТ f(x,y,z)dxdydz. ⌠⌠ота dxdy⌠отz1(xy)доz2(xy) f(xyz)dz; для любых z принадл.[a,b]↓G(z) обл.сеч. плоскостью z=const. для любых z принадл.[a,b] существ. =⌠⌠отG(z) f(x,y,z)dzdy=J(z); ⌠⌠⌠отТ f(x,y,z)dxdydz; T: z=0, z=xy, y=x, x=1; ⌠⌠⌠отТ=⌠⌠отGdxdy⌠от0доху f(xyz)dz=⌠от0до1dx⌠от0дохdy⌠от0доху f(x,y,z)dz