7) Локальный экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М0) удовлетворяет одному из условий в окрестности точки M0:

Δz ≤ 0, если M0 — точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M0 — точка локального минимума.

8) Двойной интеграл. Его свойства.

 Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая нафункция и .

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами, интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь ), т.е. :. Если, кроме того, - непрерывна на , то .

9) Вычисление двойного интеграла с помощью повторного.

⌠⌠отDf(xy)dxdy=⌠от?до?dx⌠от??до??f(xy)dy(повт.интегр) ?-числа,??-функц.одной переем.y=f(x), зав.от х. Пределы интегрирования завистят от заданной области D. Обычно она ограничена прямыми, параболами, гиперб. …1)выполнить чертёж,2)расставить пред.интегрир. и перейти к повт.интегралам.,3)Решить внутр.интегр.,4)решить внешн. интеграл.

10) Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Для вычисления двойного интеграла  иногда удобнее перейти в другую систему координат.  Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой.где выражение  представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки  в определение области R.  означает абсолютное значение соответствующего определителя. 

Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:1)Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрированияR; 2)Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных; 3) Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и.

Частный случай замены переменных – замена прямоугольных координат х,у полярными координатами r и фи. Полярные координаты ро и фи связаны с прямоугольными координатами формулами: x=r*cosфи (0<=r<+бесконечности), y=r*sinфи (0<=фи<2*пи). Иногда в качестве промежутка изменения фи берётся промежуток (-пи,пи]. Якобиан перехода к полярным координатам: D(x,y)/D(r,фи)=│перв.строка:dx/dr и dx/dфи вторая строка: dy/dr и dy/dфи│=│1 стр.:cosфи и –rsinфи, 2стр.:sinфи и rcosфи│= r