1. Транспортная модель

1. Транспортная задача

2. В общем виде транспортную задачу можно сформулировать следующим образом: в т пунктах отправления А₁...,А_т находится однородный груз, количество которого равно соответственно a₁...a_m единиц. Данный груз необходимо доставить потребителям B₁,..., B_n спрос которых— b₁,...,b_n. Стоимость перевозки единицы груза из i-го (i =от 1 до m) пункта отправления в j-й (j от 1 до п) пункт назначения равна с_i,j. Необходимо составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки минимальны.

4. Математически транспортную задачу можно записать так:

5. 

7. Таким образом, даны система ограничений (2) при условии (3) и линейная функция (1). Требуется среди множества решений системы (2) найти такое неотрицательное решение, которое доставляет минимум линейной функции (1).

8. Модель транспортной задачи называют закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т. е. выполняется равенство:

10. 

11. Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

12. 

13. то модель задачи называют открытой (несбалансированной).

14. Для разрешимости транспортную задачу с открытой моделью следует преобразовать в закрытую.

15. Так, если выполняется условие т о необходимо ввести фиктивный (n + 1 )-й пункт назначения В_п+1, т. е. в матрицу задачи вводится дополнительный столбец.

20. Пример транспортной задачи

21. Производство продукции осуществляется на 4-х предприятиях, а затем развозится в 5 пунктов потребления. Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции. Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц продукции. Хранение на предприятии единицы продукции обходится в 2 у. е. в день, штраф за недопоставленную продукцию — 3,5 у. е. в день. Стоимость перевозки единицы продукции (в у. е.) с предприятий в пункты потребления приведена в табл.

22. Необходимо минимизировать суммарные транспортные расходы по перевозке продукции.

23. Таблица 7.17. Транспортные расходы

24. Предприятия	Пункты потребления
    	1	2	3	4	5
    1	3,2	3	2,35	4	3,65
    2	3	2,85	2,5	3,9	3,55
    3	3,75	2,5	2,4	3,5	3,4
    4	4	2	2,1	4,1	3,4

27. Решение

28. 1. Проверка сбалансированности модели задачи — модель является сбалансированной, т. к. суммарный объем производимой продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:

29. 235 + 175 + 185 + 175 = 125 + 160 + 60 + 250 + 175.

30. Поэтому при решении этой задачи не учитываются издержки, связанные со складированием и недопоставкой продукции.

31. 2. Построение математической модели — неизвестными в этой задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij— объем перевозок с i-го предприятия j-й пункт потребления. Суммарные транспортные расходы — это функционал качества (критерий цели):

33. 

34. где Сij — стоимость перевозки единицы продукции с i-го предприятия j-й пункт потребления.

35. Неизвестные в этой задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

36. • объемы перевозок не могут быть отрицательными;

37. • поскольку модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с предприятий, а потребности всех пунктов потребления должны быть полностью удовлетворены.

39. Итак, имеем следующую задачу:

40. • найти минимум функционала:

41. 

42. при ограничениях:

43. 

45. где ai— объем производства на i-м предприятии, bj — спрос в j-м пункте потребления.

46. 3. Решение задачи с помощью окна Поиск решения:

47. подготовку рабочего листа для задачи осуществляем в соответствии с рис.

48. 

51. Формулы для расчета приведены в табл.;

    Описание	Ячейка	Формула
    Ограничения_1	G11	=SUM(B11:F11)
    	G12	=SUM(B12:F12)
    	G13	=SUM(B13:F13)
    	G14	=SUM(B14:F14)
    Ограничения_2	B15	=SUM(B11:B14)
    	С15	=SUM(C11:C14)
    	D15	=SUM(D11:D14)
    	Е15	=SUM(E11:E14)
    	F15	=SUM(F11:F14)
    Целевая функция	В19	=СУМПРОИЗВ (В5: F8; В11: F14)

53. Ввод данных в окно «Поиск решения» производим в соответствии с примером:

55. 

57. Полученное оптимальное решение:

59. 

60. 1. Задания

Имеются п пунктов производства и т пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции из i-гo пункта производства в j-й центр потребления с_ij приведена в таблицах, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом — пункт потребления. Кроме того, в таблицах в i-й строке указан объем производства в i-м пункте, а в j-м столбце указан спрос в j-м центре потребления. Хранение продукции на предприятии обходится в 1,6 у. е. в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в пункте потребления, но там не находящейся, равен 3,4 у. е. в сутки. Составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты потребления, минимизирующий суммарные транспортные расходы. Необходимые данные для решения задач взять из соответствующих таблиц, приведенных далее.

1. Задание №1

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	5	1,8	6	6	30
В	1	5,1	8	2	42
С	3,5	6	3	3,1	10
D	2,2	4,9	1,3	4	16
Е	3	7	8,95	1	10
Объемы потребления	20	38	30	22

Задание № 2

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	2,3	7	6	8	15
В	2	1,3	1	2,5	55
С	4,9	4	4	1	12
D	2	8	1	4	18
Е	3	2,1	1,2	5	17
Объемы потребления	35	35	15	25

Задание №3

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	4	2	4,1	6	17
В	5	2,5	2	3	73
С	3	4	3	4,2	52
D	5,1	3	2	7	38
Объемы потребления	20	25	80	20

Задание № 4

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	1,7	3	4	6	23
В	5,2	2,6	9,8	3	27
С	3	2	1	4	52
D	6	5	2,5	7	18
Объемы потребления	32	18	60	15

Задание № 5

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	6	2	4,8	3	20
В	8	4	5	8	30
С	5,5	2	3	7	14
D	5	6	8,2	4	23
Е	1,8	9	7	6	30
Объемы потребления	40	30	48	12

Задание № 6

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	6,2	1	4,2	5	17
В	2	4	5,1	8	30
С	5	8	3	4	17
D	2	4	9	2	20
Е	4	2,75	2	1	23
Объемы потребления	45	30	25	20

Задание № 7

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	4	9	1	3	38
В	2	5	5	6	20
С	2	5	10	4	30
D	3	7	2	6	32
Объемы потребления	18	50	22	35

Задание № 8

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	4	9	4	7,4	20
В	2	8	5	1	10
С	7	2,2	1	4	30
D	2,5	6	10	6	40
Объемы потребления	48	10	35	12

Задание № 9

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	6,3	8,6	1	5	15
В	2 5	7	5	7	30
С	4	5	11	8	40
D	1	5	4	5	35
Объемы потребления	44	30	26	42

Задание № 10

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	7,3	9	3	10	14
В	3	10	5	9	30
С	7	11	3	2	20
D	8	5	9	2	32
Е	4,8	9	10	5	16
Объемы потребления	60	10	20	10

Задание № 11

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	6,3	8	5	11	12
В	4	11	7	9	24
С	7	3	5	8	32
D	9	5,5	10	1	32
Е	5	8	11	5	30
Объемы потребления	60	10	30	10

Задание № 12

Предприятия	Стоимость перевозки единицы продукции				Объем производства
	Пункты потребления
	1	2	3	4
А	4,2	10	5	9	17
В	5	8	5	9	33
С	6	4	4	7,3	20
D	7	5	11	4	12
Е	3	11	8	5	20
Объемы потребления	35	20	30	15