Глава 3 Системы линейных уравнений
§1. Системы линейных уравнений. Крамеровские системы.
Рассмотрим совокупность условий
a11 x1 + . . . + a1n xn = b1,
a21x1 + . . . + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )
am1x1 + . . . + amn xn = bm,
где aij , bi - числа, а xj - буквы. Совокупность этих условий называется системой линейных уравнений относительно неизвестных x1, . . ., xn. Последовательность чисел r1 , . . . , rn называется решением системы ( ), если при подстановке этих чисел вместо соответствующих неизвестных получаем истинные равенства. Систему уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае ее называют противоречивой. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение. Если система уравнений имеет более одного решения, то систему называют неопределенной. Вводя матрицы
A
=
,x
=
,b
=
систему ( ) можно записать в матричной форме
Ax = b. ( )
Матрица А называется матрицей системы, а матрица
B
=
называется расширенной матрицей системы. Вводя в рассмотрение вектора
a
1 =
, . . . ,a
n
=
систему ( ) можно записать в векторной форме
x1a 1 + . . . + xna n = b.
Система линейных уравнений называется крамеровской, если число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы системы отличен то нуля.
Рассмотрим методы решения таких систем.
В §3 мы отмечали, что в этом случае квадратная матрица А имеет обратную. Следовательно, можно умножить обе части равенства ( ) слева на А- 1. В результате этой операции получим
x = A- 1b. ( )
Обратно, умножая соотношение ( ) слева на А получим ( ). Таким образом, условия ( ), ( ) равносильны, и поэтому формулу ( ) можно рассматривать как формулу, решающую крамеровскую систему линейных уравнений. Для матрицы А существует только одна обратная матрица, следовательно, каждая крамеровская система имеет одно и только одно решение.
Формула ( ) показывает, что неизвестное xi можно получить умножением i-ой строки матрицы А- 1 на столбец b. Отсюда, воспользовавшись формулой ( ) из §3, получим
xi
=
( Ai1b1
+ . . . + Anibn)
или, в окончательной форме,
xi
=
(i
= 1, . . . , n) ( )
Формулы ( ) называются формулами Крамера в честь математика середины прошлого столетия, в работе которого они впервые появились.
Пример.
x1 - x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 + 3x3 = 4
4x1 + 2x2 + x3 = 3
Для нахождения решения по формулам Крамера нужно вычислить определители
=
,
1 =
,
2 =
,
3 =
Чтобы вычислить определитель , вычитаем из 2-й и 3-й строки матрицы определителя первую строку, умноженную соответственно на 2 и 4. В результате получим
=
= 1
= - 21 + 6 = 15.
Аналогично получаем, что 1 = 30, 2 = -45, 3 = 15. Используя формулы Крамера, находим
x1
=
= 2,x2
=
= -3,x3
=
= 1.
Формулы Крамера дают решение системы линейных уравнений через коэффициенты этих уравнений, но для фактического нахождения решений по формулам ( ) требуется выполнить большое число вычислительных операций. Более экономичными с вычислительной точки зрения являются методы последовательного исключения неизвестных. Один из них, надлежащим образом упорядоченный, называется методом Гаусса.
Итак, рассмотрим крамеровскую систему линейных уравнений
a11x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Без ограничения общности можно считать, что коэффициент а11 при x1 отличен от нуля, в противном случае мы можем поменять местами уравнения. Разделим все члены первого уравнения на а11 в результате получим систему вида
x1 + 12 x2 + . . . + 1n xn = 1
a21x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Затем из каждого 2-го, 3-го, . . . , n-го уравнения вычитаем почленно 1-е уравнение, умноженное соответственно на a21, a31, . . . , an1. После этого наша система будет равносильна системе вида
x1 + 12 x2 + . . . + 1n xn = 1
22 x2 + . . . + 2n xn = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )
n2 x2 + . . . + nn xn = n.
В полученной системе поступаем таким же образом со всеми уравнениями, начиная со второго. Затем переходим к рассмотрению уравнений, начиная с третьего. Продолжая указанный процесс, мы получим в результате треугольную систему вида
x1 + 12 x2 + . . . + 1n xn = 1
x2 + . . . + 2n xn = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . ( )
x n-1 + nn xn = n-1
xn = n
К полученной системе применим процедуру последовательного нахождения неизвестных. Последнее уравнение системы дает значение x n. Подставив полученное значение в предпоследнее уравнение найдем значение неизвестной x n-1 и т. д. В результате найдем значения всех неизвестных x1, . . . , x n.
Пример.
x1 + 3x2 + x3 = 14
2x1 + 8x2 - x3 = 22
x1 + 6x2 + 2x3 = 27
Из 2-го и 3-го уравнения вычитаем почленно 1-е уравнение, умноженное соответственно на 2 и 1. После этих операций получим систему
x1 + 3x2 + x3 = 14
2x2 - 3x3 = - 6
3x2 + x3 = 13.
Мы исключили x1 из 2-го и 3-го уравнения. Для исключения неизвестной x3 из 3-го уравнения разделим все члены 2-го уравнения на 2
x1 + 3x2 + x3 = 14
x2 - 1.5x3 = -3
3x2 + x3 = 13.
Затем из 3-го уравнения вычитаем 2-е, умноженное на 3. В результате получим
x1 + 3x2 + x3 = 14
x2 - 1.5x3 = -3
5.5x3 = 22.
Разделив 3-е уравнение на 5.5 , находим x3 = 4. Подставляя x3 во 2-е уравнение, получим x2 - 1.5 4 = -3 или x2 = 3. Подставляя найденные значения в 1-е уравнение, получим x1 + 33 + 4 = 14 или x1 = 1.
Другую реализацию метода исключения неизвестных можно назвать методом диагонализации. Данный метод отличается от метода Гаусса тем, что в нем каждое из неизвестных xk исключается из всех уравнений кроме одного. Таким образом он доводит решение системы до конца и не требует применения процедуры последовательного нахождения неизвестных. Часто решение оформляется в матричном или табличном виде.
Пример.
x1 + x2 - 2x3 = 4
3x1 + x2 + x3 = 9
2x1 + x2 - x3 = 6
Рассмотрим расширенную матрицу системы
.
Приведем матрицу системы к единичному виду. Тогда в последнем столбце получим решение системы. Вычитаем из 2-й и 3-й строки первую, умноженную соответственно на 3 и 2. После выполнения операций получим матрицу
.
Разделим 3-ю строку на -1 и переставим со 2-й строкой. Получим матрицу
.
Вычитаем из 1-й и 3-й строки вторую, умноженную соответственно на 1 и -2. Получим матрицу
.
В заключении, вычитаем из 1-й и 2-й строки третью, умноженную соответственно на 1 и -3. В результате получим
.
Следовательно x1 = 1, x2 = 5, x3 = 1.