chap_0

14.21.Пропонується нова методика визначення вмiсту марганцю в однiй з марок сталей, яка, ймовiрно, дає менше розсiювання результатiв порiвняно з традицiйною. Нижче наведено процентний вмiст марганцю в 10 вiдливках, визначений за традицiйною методикою, та у 8 за новою.

Традицiйна методика: 1,22; 1,15; 1,17; 1,22; 1,26; 1,27; 1,19; 1,22; 1,20; 1,15.

Нова методика: 1,21; 1,24; 1,18; 1,17; 1,15; 1,18; 1,17; 1,17.

Чи є пiдстава вважати, що нова методика визначення вмiсту марганцю дає менше розсiювання порiвняно з традицiйною?

14.22.Два пiдприємства (А та В) виготовляють цегляну футерiвку для кисневих конверторiв. Споживач хоче з’ясувати, чи вiдрiзняється футерiвка пiдприємств за своїми характеристиками, щоб надалi закуповувати продукцiю з кращими показниками. Для цього вiн реєструє кiлькiсть плавок, якi можна зробити в конверторi до того, як з’явиться потреба замiнити футерiвку. Одержанi данi наведено нижче.

Пiдприємство А: 237, 224, 218, 227, 234, 215, 219, 225, 230. Пiдприємство В: 216, 202, 205, 200, 207, 198, 222, 214, 226, 204. Чи можна на пiдставi цих даних дiйти висновку про iстотну рiзницю кiлькостi плавок до замiни футерiвок, виготовлених на пiдприємствах А та В?

14.23.Проводилося дослiдження шин, що використовуються на автобусах, з метою розроблення модифiкацiї, яка б мала бiльший пробiг. Зокрема, дослiджувалася температура, до якої нагрiвалися переднi шини пiд час руху автобуса. За наведеними в таблицi значеннями температури (в умовних одиницях) лiвої та правої шин з’ясувати, чи є iстотними вiдмiнностi в цих показниках.

Сформулювати й розв’язати поставлену задачу в термiнах перевiрки статистичних гiпотез.

14.24.На автоматичному верстатi обробляються втулки. Пiсля налагодження верстата було дiбрано вибiрку кiлькiстю 10 виробiв. Виявилося, що вибiркове значення дiаметра втулки становить 2,059 мм, а вибiркова дисперсiя s2 = 4; 4 мкм2. Через певний промiжок часу з метою контролю рiвня налагодження верстата на заданий дiаметр втулки знову добиралася вибiрка кiлькiстю 10 виробiв, для якої вибiркове середнє = 2; 063 мм, а вибiркова дисперсiя s2 = 8; 6 мкм2. Припустимо, що протягом зазначеного промiжку часу змiни в роботi верстата можуть позначитися тiльки на рiвнi його налагодження, але точнiсть роботи верстата не змiниться.

Чи свiдчать наведенi данi про змiну рiвня налагодження верстата за промiжок часу, що вiдокремлює моменти добору вибiрок?

14.25.Дисперсiя границi мiцностi на розрив волокна становить 35,63 фунт2. Очiкується, що внесенi в технологiчний процес амiни зменшать зазначену дисперсiю. Зареєстровано такi значення мiцностi на розрив (у фунтах): 151, 156, 147, 153, 155, 148, 160, 149, 156, 161, 154, 162, 163, 149, 150. 123.

Чи привела змiна технологiчного процесу до зменшення дисперсiї? (1 фунт=453,6 г).

14.26. Порiвнюється дiя знеболювальних препаратiв А та В (у деяких випадках одним з лiкiв може бути iнертне плацебо (пустушка), що використовується для контролю при дослiдженнi дiї iншого препарату). Група хворих, якi виявили бажання взяти участь в експериментi, налiчувала вiсiм чоловiк. Цiлком можливо, що в цих хворих вiк, стать, загальний стан тощо не однаковi. Тому дають обидва препарати кожному хворому i щоразу фiксують тривалiсть знеболювальної дiї кожного з них. Щоб забезпечити чистоту експерименту, вжито всi виправданi застережнi заходи: мiж прийманнями обох препаратiв минає час, що виключає перекривання їх дiї; четверо хворих одержують спочатку препарат В, при цьому жоден iз них не знає, який саме препарат вiн уживає, i т.д. Результати експерименту наведено в таблицi (фiксувалася в годинах тривалiсть знеболювальної дiї

Зробити висновок про дiю препаратiв, вважаючи, що: 1) немає апрiорної iнформацiї про ефективнiсть препаратiв; 2) фармакологiчна активнiсть препарату В не менша, нiж препарату А. Вiдповiдь дати в термiнах перевiрки статистичних гiпотез.

14.27. Необхiдно порiвняти границю мiцностi при розтягу гумової сумiшi типiв А та В. Для цього виготовили партiю з восьми зразкiв прямокутної форми, по чотири з кожної сумiшi, i пiддали їх повздовжньому розтягу. Один iз зразкiв сумiшi А, визнаний дефектним, був вилучений з партiї до початку випробувань.

Одержанi результати випробувань (фiксувалася границя мiцностi при розтягу зразкiв двох гумових сумiшей) наведено нижче.

Сумiш А: 3210, 3000, 3315.

Сумiш В: 3225, 3320, 3365, 3145.

Чи можна вважати, що склад гуми не впливає на її мiцнiсть?

Вiдповiдь дати в термiнах перевiрки статистичних гiпотез.

14.28. Наведенi нижче числа є значеннями твердостi 10 зразкiв сплаву в умовних одиницях: 12,1; 13,7; 11,0; 11,6; 11,9; 13,9; 11,5; 12,9; 13,0; 10,5.

Чи можна вважати, що дисперсiя твердостi становить 2,25?

14.29. Данi вимiрювання довжини зразкiв виробiв (у мiлiметрах) до i пiсля вiдпалювання їх у високочастотнiй печi такi:

Чи привело термооброблення до змiни розмiрiв виробiв?

14.30.Два оператори провели 14 незалежних експериментiв, дослiджуючи температуру займання емалi одного складу. Кожен iз них випробував 7 зразкiв. Нижче наведено результати дослiдiв.

Оператор А: 1450, 1425, 1420, 1410. 1370, 1360, 1270. Оператор В: 1430, 1420, 1380, 1320, 1320, 1290, 1280.

Чи є iстотною рiзниця мiж результатами, одержаними рiзними операторами?

Сформулювати i розв’язати поставлену задачу в термiнах перевiрки статистичних гiпотез.

14.31.Для того щоб дослiдити ефект вiд використання спецiальної сiвалки, 10 дiлянок землi засiяли за допомогою звичайної сiвалки i 10 дiлянок - за допомогою спецiальної, а потiм порiвняли одержанi врожаї. 20 дiлянок однакової площi були подiленi попарно, причому пару становили сумiжнi дiлянки. Питання про те, яка з двох сумiжних дiлянок мала оброблятися спецiальною машиною, вирiшувалося пiдкиданням монети. У таблицi подано рiзницi врожаїв iз пар сумiжних дiлянок, засiяних спецiальною сiвалкою i звичайною.

Чи пiдтверджують наведенi данi наявнiсть ефекту вiд використання спецiальної сiвалки, iнакше кажучи, чи дає вона надбавку врожаю?

14.32.Нижче наведено данi про вимiрювання нерiвностей поверхнi однiєї й тiєї самої чистоти оброблення за допомогою двох подвiйних мiкроскопiв.

Чи можна вважати, що мiж показами приладiв немає систематичної розбiжностi?

Мiкроскоп 1: 0,8; 1,9; 3,0; 3,5; 3,8; 2,5; 1,7; 0,9; 1,0; 2,3; 3,3; 3,4. Мiкроскоп 2: 1,4; 2,1; 3,1; 3,6; 2,7; 1,7; 1,1; 0,2; 1,6; 2,8; 4,0; 4,7.

14.33.Точнiсть вимiрювань. Визначається границя розривної мiцностi деякого матерiалу на двох рiзних стендах А та В. Нижче наведено вибiрки значень границi розривної мiцностi, одержанi на цих стендах. З’ясувати, чи можна вважати, що точнiсть вимiрювань границi розривної мiцностi на стендах А та В однакова.

Стенд А: 1,32; 1,35; 1,32; 1,35; 1,30; 1,30; 1,37; 1,31; 1,39; 1,39. Стенд В: 1,35; 1,31; 1,31; 1,41; 1,39; 1,37; 1,32; 1,34.

14.34.Для контролю напруги в освiтлювальнiй мережi (стандарт 220 В) щогодини протягом доби реєстрували напругу (у вольтах): 220, 222, 220, 220, 220, 222, 220, 218, 218, 220, 220, 222, 222, 220, 218, 220, 222, 216, 218, 214, 210, 218, 223, 215.

Чи можна вiдхилення вiд стандарту (220 В) розглядати як випадковi? Чи, навпаки, наведенi данi вказують на систематичне вiдхилення напруги вiд стандарту?

14.35.Один iз методiв кiлькiсного аналiзу мiри спрацювання шини полягає у вимiрюваннi глибини проникнення щупа в певному мiсцi шини. Є пiдозра, що поява значної частки дисперсiї вимiрювань пов’язана з дiями контролерiв. Щоб видiлити iз загальної дисперсiї вимiрювань зазначену частину, двом контролерам запропонували провести по 12 вимiрювань у однiй i тiй самiй точцi шини. Результати вимiрювань наведено нижче.

Контролер X: 121, 121, 126. 130, 127, 131, 127, 124, 125, 119, 126, 123.

Контролер Y: 120, 129, 128, 136, 117, 138, 124, 119, 136, 136, 134, 132.

Чи iстотно вiдрiзняються дисперсiї вимiрювань, проведених рiзними контролерами?

А.5. а) На вiдрiзок одиничної довжини навмання ставиться точка. Обчислити ймовiрнiсть того, що вiдстань вiд точки до кiнцiв вiдрiзка перевищує величину 1=k. б) На вiдрiзку одиничної довжини навмання взято двi точки. Обчислити ймовiрнiсть того, що вiдстань мiж ними менша 1=k.

А.6. Моменти початку двох подiй навмання розподiленi на промiжку часу вiд T1 до T2. Одна з подiй продовжується 10 хвилин, друга – t хвилин. Визначити ймовiрнiсть того, що: а) подiї “перекриваються” у часi; б) подiї “не перекриваються” у часi.

А.7. У круг радiуса R навмання ставиться точка. Обчислити ймовiрнiсть того, що вона попаде в одну з двох фiгур, якi не перетинаються та мають площi рiвнi S1 та S2.

А.8. У двох партiях k1 та k2 % якiсних виробiв. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партiї. Яка ймовiрнiсть виявити серед них: а) хоча б один бракований; б) два бракованих; в) один якiсний та один бракований?

А.9. Ймовiрнiсть того, що цiль уражена при одному пострiлi першим стрiльцем p1, другим p2. Перший зробив n1 пострiлiв, другий n2 пострiлiв. Визначити ймовiрнiсть того, що цiль не уражена.

А.10. Два гравцi A та Б по черзi кидають монету. Виграє той, у якого ранiше випаде “тризуб”.

1)Знайти ймовiрнiсть вказаної нижче подiї. Варiанти 1–8. Виграв А до k-го кидка. Варiанти 9–15. Виграв А не пiзнiше k-го кидка. Варiанти 16–23. Виграв Б до k-го кидка. Варiанти 24–31. Виграв Б не пiзнiше k-го кидка.

2)Якi ймовiрностi виграшу для кожного гравця при необмеженiй за часом грi?

А.11. Урна мiстить M пронумерованих куль. Кулi виймаються по однiй без повернення. Розглядають такi подiї:

A – номери куль в порядку виймання утворюють послiдовнiсть

1; 2; : : : ; M;

B – хоча б один раз спiвпадає номер кулi та порядковий номер виймання;

C – немає жодного спiвпадання номера кулi та порядкового номера виймання.

Обчислити ймовiрнiсть подiй A; B; C. Знайти граничнi значення ймовiрностей при M ! 1.

А.12. З 1000 ламп n1 належать першiй партiї, n2 другiй та n3 третiй (n1 + n2 + n3 = 1000). У першiй партiї 6%, у другiй 5%, у третiй 4% бракованих ламп. Навмання вибирається одна лампа. Знайти ймовiрнiсть того, що вибрана лампа бракована.

А.13. В першiй урнi N1 бiлих та M1 чорних куль, у другiй N2 бiлих та M2 чорних. З першої урни у другу перекладено K куль, потiм з другої урни вийнято одну кулю. Визначити ймовiрнiсть того, що вийнята куля бiла.

А.14. В альбомi k чистих та l погашених марок. З них навмання беруть m марок, якi пiддають спецгашенню та повертають в альбом. Потiм знову навмання беруть з альбому n марок. Знайти ймовiрнiсть того, що усi n марок будуть чистi.

А.15. У магазин надходять однотипнi вироби з трьох заводiв, причому k-ий завод поставляє mk% виробiв (k = 1; 2; 3). Серед виробiв k-го заводу nk% першосортних. Куплений один вирiб. Вiн виявився першосортним. Яка ймовiрнiсть того, що цей вирiб виготовлений j-им заводом?

А.16. Монета кидається поки “тризуб” не випаде n разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що цифра випаде m разiв.

А.17. Ймовiрнiсть виграшу в лотерею на один квиток дорiвнює p. Куплено n квиткiв. Знайти найвiрогiднiшу кiлькiсть вигравших квиткiв та вiдповiдну ймовiрнiсть

А.18. На кожен лотерейний квиток з ймовiрнiстю p1 може випасти великий виграш, з ймовiрнiстю p2 – малий виграш та з ймовiрнiстю p3 бiлет може бути безвиграшним (p1 + p2 + p3 = 1). Куплено n квиткiв. Визначити ймовiрнiсть отримання n1 великих та n2 малих виграшiв.

А.19. Ймовiрнiсть “збою” у роботi телефонної станцiї при кожному викликовi дорiвнює p. Надiйшло n викликiв. Знайти ймовiрнiсть m “збоїв”.