Методичка (дискретка)
.pdfB3
1. На множині студентів бінарного відношення.
S
навести приклади повного та порожнього
2.На
xR y
множині |
A |
x y 1. Задати
{1, 2, 3, 4, 5} |
побудувати |
його різними способами.
відношення
R
:
3.Задати відношення
a)x P y x2 y2
P
;
R R координатним |
||
b) |
x P y (x |
2 |
|
||
способом:
y |
2 |
1 |
та |
|
x
0
).
4. Нехай |
на множинах |
A {a, b, c, d} |
відношення |
R1 { a,4 , a,5 , b, 2 , b, |
|
і R2 { a, 1 , a, 3 , a, 5 , b, 1 , b,3
Побудувати R R , |
R R , |
R \ R , |
R |
, |
|||
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
та |
B {1, 2, 3, 4, 5} |
задано |
3 , |
c,1 , d,2 , |
d, 3 } |
, d, 3 , d,4 , d,5 }.
R1 1 .
5. Нехай батьком y}
на |
множині людей |
та |
D { x, y | x |
є
L задані такі донькою y}
відношення F
. Описати такі
{ x, y | x є
відношення:
F * F, |
F * D, |
D * F, |
D * F |
1 |
, |
|
F |
1 |
* D |
1 |
|
|
.
6. Відношення якщо:
a) |
A {1}, |
b) |
A {1, 5}, |
R |
задане |
R{ 1,1 } R { 1, 5
на множині
;
};
A
, вказати
його властивості,
c) |
A |
d) |
A |
{3, 5},
{3, 5},
R { 3, 5 , R { 3, 5 ,
5, 5,
3 3
,}
3, 3 ,
;
5, 5
}
;
e) |
A {a, b, c}, |
7. З’ясувати, які натуральних чисел:
a) n Rm n
R { a, c , |
a, b }. |
властивості мають відношення, задані на множині
та m взаємно прості;
b) |
n |
c) |
n |
d) |
n |
Rm R m R m
n n n
є дільником
m |
; |
2 |
|
m |
. |
2 |
|
m
;
8.Навести приклад відношень, кожне з яких є
a)рефлексивним, симетричним, не транзитивним;
b)не рефлексивним, не симетричним, транзитивним;
c)рефлексивним, антисиметричним, не транзитивним.
9. Довести, на множині M
що
N2
відношення a, b R c, d a d b c , задане , є відношенням еквівалентності.
10.Чи буде відношенням еквівалентності відношення подібності на множині трикутників?
21
11.Нехай |
M |
– множина прямих. З’ясувати, |
чи будуть наступні |
|
відношення відношеннями еквівалентності: |
|
|||
a) |
пряма x перетинається з прямою y ; |
|
||
b) |
пряма x лежить в одній площині з прямою |
y ; |
||
c) |
пряма x перетинає ті ж самі площини, що і пряма y . |
|||
12.Нехай на множині |
A |
задано відношення |
відношенням еквівалентності, якщо: a) A Z, xRy x y 0;
R
. З’ясувати, чи буде
R
b) |
A |
{ 10, 9, ..., 0,1, ...,10},
2 |
2 |
; |
xR y x |
y |
c) |
A { 10, 9, ..., 0,1, ...,10}, |
xR y x3 y3 ; |
|
d) |
A {1, 2, ..., 10}, |
xRy x y 0. |
|
Для кожного відношення еквівалентності побудувати класи еквівалентності..
13.Знайти класи еквівалентності для відношень, заданих на Z :
a) |
xRy x y; |
b) xRy |
| x | | y |; |
c) xR y |
(x |
||
14.Класифікувати відношення, задані на множині |
A : |
|
|
||||
a) |
A {a, b, c, d, e, f }, |
R iA { d, e , b, c , |
e, f , |
||||
|
a, c , d, f }; |
|
|
|
|
|
|
b) |
A {2, 3, 5, 7,14,15, 21}, xRy |
x ділить |
y . |
|
|
||
y) 5.a,b ,
Побудувати матриці відношень та діаграми Хаасе. Вказати мінімальний, максимальний, найбільший та найменший елементи.
15.Нехай
M
{a,
b}
. Скільки відношень часткового порядку можна
побудувати на цій множині? Вказати їх.
16.З’ясувати, чи будуть наведені відношення відношеннями порядку:
a) |
R |
Z |
, |
2 |
|
xR y x y;
b) |
A |
{ 5, 3, 2, 0,1, 3, 4, 5, 6}, |
2 |
, |
xS y | x | | y |; |
S A |
c) |
A {2, 3, 4, 5, 6,11,12,13}, |
2 |
, |
xS y |
|
S A |
остачею 1.
Вказати тип впорядкованості у випадках, Побудувати діаграми Хаасе.
x |
ділиться на |
y |
з |
коли це можливо.
17.Опишіть симетричні відношення, які є відношеннями часткового порядку.
18.Довести, що перетин двох симетричних відношень є симетричним.
19.Нехай
R1
та
R2
– іррефлексивні відношення. Чи завжди буде
добуток таких відношень іррефлексивним? Навести приклади.
22
20.Нехай |
R , |
R1 |
та R2 – бінарні відношення, |
|||
Довести: |
|
|
|
|
|
|
a) |
(R * R1 ) *R2 R * (R1 * R2 ) |
; |
||||
b) |
(R1 R2 ) * R R1 * R R2 * R ; |
|||||
c) |
|
1 |
(R |
1 |
|
|
(R ) |
|
) . |
|
|||
21.Чи кожна підмножина T |
множини A B |
|||||
відображення |
f |
: A B ? |
|
|||
задані на множині |
A . |
є графіком певного
22.На множинах |
A {a, b, c, d, e} і B {1, 2, 3, 4, 5} |
задано відношення: |
R1 { a, 2 , a,5 , b, 1 , b,5 , c, 2 , d ,3 , d ,5 }; R2 { a,3 , b, 2 , c,3 , e,3 };
R3 { a, 2 , |
b,3 , c, 4 , d ,1 , |
e,5 }; |
|
R4 { a, 2 , a,3 , b, 1 , c, 4 , c,5 , d ,1 , e,2 , e, 4 }; |
|||
R5 { a, 4 , |
b,3 , c, 5 , d , 2 , |
e,1 } . |
|
Які з них: |
a) всюди визначені; b) |
функціональні; c) ін’єктивні; |
|
d) сюр’єктивні; |
e) |
бієктивні (взаємно однозначні)? |
|
23.Чи є відношення
a) |
f { |
b) |
f { |
c) |
f { |
d) |
f { |
e) |
f { |
f) |
f { |
x, x, x, x, x, x,
y [0,1] R | |
|
|
|
2 |
}; |
|
|
||
y x |
|
|
|
||||||
y [0,1] [0,1] |
|
|
|
|
|
2 |
} |
; |
|
| y x |
|||||||||
y [0,1] [ 1,1] |
| x |
2 |
|
y |
2 |
||||
|
|
|
|||||||
y [ 1, 1] [0, 1] |
| x |
2 |
y |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||||
y N N | x y 3}; |
|
|
|
||||||
y N N | y x 3} |
; |
|
|
|
|||||
1};
1};
g)
f |
{ x, y [0, 1] [0, 1] |
| |
y |
1 |
x |
2 |
|
}
.
відображеннями? Вказати їх властивості.
24.Що можна сказати про множини відображення A B є: а) сюр’єкцією;
A та B , коли відомо, що кожне b) ін’єкцією; c) бієкцією?
X
та
25.Навести |
приклад |
множини |
Y , |
що еквівалентна множині |
||||||
{1, 2, 3, 4, 5} |
. Скільки взаємно однозначних відображень існує між |
X |
||||||||
Y ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26.Чи є зліченною множина A {2, 4, 8, , 2 |
n |
, }? |
|
|||||||
|
|
|||||||||
27.Чи будуть множини A і B еквівалентними, якщо: |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
a) A (0, 1), B |
|
, |
|
; |
b) |
A [0,1], B [a,b] ? |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
23
28.Довести, що декартів добуток зліченна.
29.Чи є зліченною множина |
A {0, |
двох
1, 4,
зліченних множин є множина
9, }?
|
|
|
С3 |
1. |
Множина A |
складається з |
n елементів. Скільки різних бінарних |
відношень можна побудувати на цій множині? Скільки буде серед них: |
|||
|
a) рефлексивних відношень; |
b) симетричних відношень? |
|
2. |
Визначити, |
чи будуть |
вказані відношення відношеннями |
еквівалентності: |
|
|
|
a)
b)
c)
d)
S S T A
R |
2 |
, |
|
||
R |
2 |
, |
|
||
R |
2 |
|
|
|
|
{5, 8, |
||
xS y
xS y |
||
R |
2 |
, |
|
||
9,12, |
||
x y Z ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
y | x |; |
, y |
|
) x |
|
x |
|
|||
( x |
, x |
T y |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
13,16,18,19, 20}, |
|
|
2 |
, xS y |
|
||||
S A |
|||||||||
y2 1
| x
y|
y
2 |
; |
2 |
|
4 . |
|
Для відношень еквівалентності задати класи еквівалентності.
3.Чи можна стверджувати, що об’єднання двох відношень еквівалентності теж буде еквівалентністю? Відповідь обґрунтувати.
4.Побудувати відношення часткового порядку на множині трикутників.
5. Якщо R – відношення часткового порядку, то часткового порядку. Довести.
R |
1 |
|
теж відношення
6. Нехай
R A |
, |
x y x |
2 |
|
|
ділиться на
y
. Вказати мінімальний,
максимальний,
a) |
A {1, |
найменший,
2, 3, 4, 5, 6};
найбільший
b) |
A {1, |
елементи, якщо:
2, 3, }; c)
A
{2, 3,
4,
}
.
7. Нехай M |
– сукупність непорожніх власних підмножин множини |
A {1, 2, 3, 4, 5}, |
впорядкована відношенням включення. Вказати |
мінімальний, максимальний, найменший, найбільший елементи.
8. Нехай на множині
R i |
A |
{ a, c , |
b, c , |
b, d |
|
|
|
|
для якого R Q . Скільки існує
, |
A {a, b, c, d} |
задано |
відношення |
||
a,b }. Знайти |
лінійний |
порядок |
Q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
таких лінійних порядків?
9.
Нехай R
а) iA * R
і Q
R ;
– бінарні відношення, задані на множині
b) |
(R * Q) |
1 |
Q |
1 |
* R |
1 |
. |
|
|
|
A
. Довести:
10.Довести, що R – симетричне відношення тоді і тільки тоді, коли
R R 1 .
24
11.Довести,
R R 1 iA ,
12.Якщо |
R |
Довести. |
|
що |
R |
– антисиметричне відношення тоді і тільки тоді, |
R A2 .
– відношення еквівалентності, то |
R R |
1 |
та |
R |
|
коли
R |
. |
2 |
|
13.Нехай R1 та R2 – відношення еквівалентності. Довести, що відношення еквівалентності тоді і тільки тоді, коли R1 * R2 R2 *
R |
* R |
2 |
1 |
|
|
R1 . |
|
|
–
14.Нехай відображень
| A| n,
f : A
| B | m. Скільки можна побудувати різних
B?
f |
: |
15.Нехай
A B?
|
A| |
B |
n
. Скільки можна побудувати різних
бієкцій
16.На множинах
відношення |
R |
1 |
є: |
|
|||
|
|
||
c) ін’єктивним; |
|
d) |
|
A |
та |
B |
задано відношення |
R . За яких умов |
|
a) |
всюди визначеним; |
b) функціональним; |
|
сюр’єктивним; e) бієктивним?
4. Алгебраїчні структури
Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. З’ясувати, чи є алгебраїчними операціями додавання та
скалярний |
добуток |
двох векторів, заданих на |
множині M |
векторів |
площини. |
|
|
|
|
Розв’язання. Додавання двох векторів площини є бінарною |
||||
операцією, |
оскільки для довільних векторів a , b M можна однозначно |
|||
побудувати |
вектор |
c a b M . Скалярний |
добуток двох |
векторів |
площини не є бінарною операцією в множині M |
, бо скалярний добуток є |
|||
число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини M . |
|
|||
Задача 2. З’ясувати, чи буде алгебраїчною операцією знаходження спільного дільника натуральних чисел m і n в множині N .
Розв’язання. Для будь-яких натуральних чисел можна знайти їх спільний дільник, але результат цієї дії може бути неоднозначним: числа
m і |
n |
можуть мати кілька спільних дільників. Отже, знаходження |
спільного дільника двох натуральних чисел не є алгебраїчною операцією.
Задача 3. |
З’ясувати, чи будуть алгебрами структури: |
a) G1 ({1, 1}, ); |
b) G2 ({ 1, 0,1}, ) . Знайти підалгебри. |
25
Розв’язання. Структура |
G1 |
є алгеброю, оскільки множення є |
||
алгебраїчною операцією на множині {1, 1}: |
1 1 1, |
1 ( 1) ( 1) 1 1, |
||
( 1) ( 1) 1. Підалгеброю буде структура G ({1}, ) , |
оскільки {1} {1, 1} |
|||
і множина {1}є замкненою відносно операції множення. |
||||
Структура G2 не є алгеброю, оскільки додавання не є алгебраїчною |
||||
операцією на множині { 1, 0,1}: |
( 1) ( 1) 2 { 1, 0,1}. |
|||
Задача 4. Нехай задано алгебру
|
, { , |
G (R |
|
1 |
|
1,
1})
, носієм якої є
множина додатніх дійсних чисел |
R |
|
, з бінарною операцією множення, |
|
|||
|
|
|
унарною операцією знаходження оберненого елемента і нульарною операцією 1 та алгебру того ж типу G2 (R, { , , 0}) . Довести, що
відображення lg : R R є ізоморфізмом.
G1
та
Розв’язання. Доведемо, що відображення lg є |
гомоморфізмом алгебр |
G2 . Для кожної з заданих операцій маємо: |
lg (r1 r2 ) lg r1 lg r2 ; |
lg (r |
1 |
) lg r |
|
;
lg (1)
0
. Кожна з цих рівностей вірна для
будь-яких
r, r1, r2 R |
|
за властивістю логарифмів. |
|
|
|||
взаємно однозначним. Нехай r1 r2 |
, але |
||
Доведемо, що відображення lg r1 lg r2 . Тоді
lg
є
|
lg r |
lg r |
0 |
|
lg |
r |
0 |
|
r |
1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Отримали протиріччя. Отже, відображення |
lg |
||||||||||
алгебр G1 |
та G2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1
r2 .
є ізоморфізмом
Задача 5. Класифікувати алгебри:
a) |
G1 |
(M n n , ) , де |
M n n |
– множина квадратних |
розмірності |
n 2; |
|
|
|
b)G2 ({1, 1}, ) .
Розв’язання. Алгебра |
G1 |
– некомутативний моноїд, |
матриць
оскільки
множина квадратних матриць
M n n
є замкненою відносно множення;
множення матриць є асоціативною операцією. Нейтральним елементом є
одинична матриця I : для |
довільної матриці |
A |
виконується |
рівність |
|
A I I A A . Ця алгебра не є групою, оскільки обернені існують лише |
|||||
для невироджених матриць. |
G2 . Множина |
|
є |
замкненою |
відносно |
Розглянемо алгебру |
{1, 1} |
||||
|
|
|
|
|
|
множення (див. задачу 3), ця операція асоціативна і комутативна, як множення дійсних чисел. Елемент 1 є нейтральним, для кожного елемента
існує обернений: 1 1 1, ( 1) 1 1. Отже, G2 – абелева група.
26
A4
1. Чи будуть алгебраїчними множення та ділення, задані на: a)
операціями додавання, віднімання,
N ; b) Z ?
2. Нехай |
R |
|
{x | x R, x |
|
визначити їх властивості, якщо:
a) |
a b |
a b |
; |
|
2 |
||||
|
|
|
b) a b a b 1;
0}. |
Вказати алгебраїчні операції та |
с) |
a b max (a,b) ; |
d) |
a b log b a . |
3. Нехай
G
(N,
)
. Знайти замикання множин
B {3},
C
{3,
4}
.
4. Скласти таблицю для закону композиції поворотів площини квадрата навколо його центру, при яких квадрат суміщається сам з собою.
5. Побудувати декілька підалгебр алгебри |
G (N, ) . |
з’ясувати, чи буде підалгеброю G1 G2 та |
G1 G2 , де |
підалгебри. |
|
На прикладах
G1, G2 |
– деякі |
6. Вказати систему твірних для алгебр:
a) |
G1 |
(N,
)
; b)
G2
(Z,
)
.
7. З’ясувати, чи буде відображення f гомоморфізмом алгебр якщо:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
a) |
G1 (N, ), |
G2 |
|
|
, n N , , |
|
f (n) |
|
; |
|||||||||
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
b) |
G (Z, |
), |
|
G |
2 |
(N, |
), |
f (z) |
|
z |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
G1 ({2 |
k |
, |
k Z}, ), |
G2 |
(Z, ), |
|
f (2 |
k |
) k . |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
G1
та
G2
,
8. Класифікувати тип алгебр:
a) G1 (N, ) ; |
с) G3 (N, ) ; |
b) G2 (Z, ) ; |
d) G4 (Q \ {0}, |
)
;
e) G5 f) G6
(Q
(N
\ {0}, ) ;
{0}, )
.
9.Чи
xy x
y
буде
xy
абелевою групою алгебра
.
G (R \ { 1},
)
,
де
10.Класифікувати тип алгебр:
a) множина цілих чисел, кратних m ( m 1), з та множенням;
b)множина квадратних матриць розмірності додавання та множення;
операціями додавання n ( n 1) з операціями
c)множина многочленів від однієї змінної скінченного степеня з дійсними коефіцієнтами з операціями додавання та множення;
d)множина раціональних чисел с операціями додавання та множення.
27
11.З’ясувати тип алгебри, носієм якої є множина додавання та множення задані таким чином:
(a, b) (c, d) (a c, b d), |
(a, b) (c, d) (a c, |
Z |
2 |
|
|
b d |
|
)
і операції
.
Знайти елементи, які мають обернені відносно множення.
12.Побудувати булеву алгебру на множині |
A {1, 2, 3, 4}. |
|
B4 |
|
1. |
Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, |
|
множення та ділення, задані на: a) Q ; b) R ; c) R \ {0} ; d) {1}; |
e) {0, 1}? |
|
2. |
З’ясувати, чи будуть алгебраїчними операціями додавання, |
|
віднімання, множення та ділення, задані на множині M {1, 1, |
i, i}, де |
|
i |
2 |
|
1
.
3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури:
a) |
G1 ({2n 1 | n N}, { , , !}) ; |
с) G3 |
|||
|
|
, ), |
2 |
; |
|
b) G2 (R |
a b ab |
|
|||
(R |
|
, ), |
|
a b | a
b
|
.
4. З’ясувати, чи задані на N :
a) a b 2 a b ;
будуть асоціативними
b) |
a b a |
2 |
b |
2 |
|
|
та
;
комутативними операції,
c) |
a b a . |
5. Вказати систему твірних для алгебри
твірних множина векторів |
b1 (1,1), |
b2 |
G (Z (1, 1),
2 |
, ) |
|
|
|
|
b |
|
|
|
3 |
|
. Чи буде системою
(4,1) ?
6. Побудувати декілька підалгебр алгебри носієм підалгебри бути скінченна множина?
G (Z,
{ ,
})
. Чи може
7. Нехай алгебри G
A {a, b, c, d},
(B(A), { , }).
B(A)
– булеан
A
. Побудувати дві підалгебри
8. З’ясувати, чи буде відображення f гомоморфізмом алгебр G1 |
та G2 , |
|||||
якщо: |
|
|
|
|
|
|
a) |
G1 (Z, ), |
G2 (Z, ), |
f (n) n ; |
|
|
|
b) |
G1 (Z, ), |
G2 (Z, ), |
f (z) z ; |
|
|
|
c) |
G1 (B(A), { , }), |
G2 (B(A), { , }), |
f (X ) X , де |
A – |
||
|
скінченна множина, |
B( A) – її булеан. |
|
|
||
9. Нехай G1 порядку ( n 2), гомоморфізмами,
M n n , , де
G2 R, .
якщо: a) h1
M n n – множина |
квадратних матриць |
|||
З’ясувати, |
які |
з |
відображень |
h1, h2 , |
(a) det a; |
b) |
h2 (a) a11; c) |
h3 (a) |
|
n -го
h3 є
1.
28
10.З’ясувати тип алгебри:
a) |
G1 |
({2k, |
k Z}, |
) ; |
b) G2 |
({1, 2, 3}, ) ; |
|
||
c) |
G3 |
(Q, ) |
; |
|
d) G4 (N, ), |
a b 1 |
; |
|
e) G5 |
({1, 1, i, i}, ) , де |
||
f) G6 |
({ 1, 0,1}, ) . |
|
|
i |
2 |
1; |
|
11.Чи буде
x y xy x y
абелевою групою алгебра
2.
G ({x | x R,
x 1},
)
, де
12.Скласти таблицю для закону композиції на множині рухів та відображень ромба, які суміщають ромб сам з собою. Побудувати алгебру, визначити її тип.
13.Задати множину підстановок множини M {1, 2, 3}. Побудувати алгебру, визначити її тип, виписати всі її підалебри.
14.Класифікувати тип алгебр:
a)множина цілих чисел з операціями додавання та множенням;
b)множина комплексних чисел з операціями додавання та множення.
15.Чи утворює кільце відносно операції додавання та множення множина всіх дробів із знаменником 7?
16.Нехай задана множина матриць виду
Визначити тип алгебри G (M,{ , }) .
M |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
3b a
, де
a, b Z .
17.З’ясувати, чи буде булевою алгеброю
G
({a, b}, { , , ,
a,
b})
, де
|
a |
b |
|
|
a |
b |
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
a |
b |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
||||||
b |
b |
a |
|
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C4
1. Нехай G M 2 2 , , де M порядку, елементами яких є цілі
2 2 – множина квадратних матриць другого числа. Нехай
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|||||
A |
|
, |
B |
|
|
, |
C |
|
|
. |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Знайти замикання A , |
A B , |
B C . |
|
|
|
|||||
29
2. Нехай G M 2 2 , { , } , де M 2 2 – множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Довести, що множина
S |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
||
|
|
|
|
0
0
є системою твірних алгебри
G.
3. Нехай задана наступним чином
алгебра G ({a, b, c}, ), |
де операція визначена |
||
a a a, |
a b b a c, |
b b b, |
c b b c a, |
c c c, |
a c c a b. Вказати підалгебри G , з’ясувати, чи існують під- |
алгебри |
G з двохелементним носієм. Чи буде алгебра G півгрупою? |
4. З’ясувати тип алгебри G (V , ) , де V – множина векторів у трьохвимірному просторі, а операція – це векторний добуток.
5. Нехай B( A) – булеан скінченної множини
a) G1 (B(A), ) ; |
|
с) G3 |
b) G2 (B( A), ) |
; |
d) G4 |
A . З’ясувати тип алгебри:
(B(A), ) ;
(B( A), { , }) .
6. Нехай T {t1, щоб алгебра G (T , a) групоїдом;
t2)
, t3}. Задати операцію на множині |
T |
таким чином, |
була:
b) півгрупою; c) моноїдом; d) групою.
7. З‘ясувати, чи будуть групами наступні множини функцій з операцією суперпозиції:
a |
2 |
|
a) F { f1 , |
f2 , |
|
f3 , f4}, |
де |
f1 (x) x, |
|||||||
|
|
f |
|
|
(x) |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b) G {g1 , g2 , g3 , g4}, |
де g1 (x) x, |
g2 |
||||||||||
|
|
g |
4 (x) |
x 1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Нехай задана множина матриць виду |
M |
|||||||||||
b |
2 |
0 |
. Визначити тип алгебри G (M,{ , }) . |
|||||||||
|
||||||||||||
f |
2 |
( |
|
|
(x)
ab
x) x,
x1,
x1
3b |
|
|
, |
|
|
a |
|
f |
|
(x) |
1 |
, |
|
3 |
x |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
g3 (x) 1x ,
де a, b Q ,
9. |
З’ясувати тип алгебри: G (Zn , { , }) , де Zn – класи лишків за |
|
модулем n , і |
– додавання та множення за модулем n відповідно, |
|
якщо: |
a) n 3; |
b) n 4. |
30