7.3. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения

Сравнение исправленной выборочной дисперсии с генеральной дисперсией

Пусть из генеральной совокупности, распределенной нормально c неизвестной генеральной дисперсией ²₀, извлечена выборка объёма n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S²с k = n – 1 степенями свободы. Требуется установить насколько различаются исправленная выборочная дисперсия и предполагаемая генеральная дисперсия. Нулевую гипотезу можно записать в виде:

H0: M (S2) =20.

(7.2)

В нулевой гипотезе (7.2) принимается, что математическое ожидание исправленной выборочной дисперсии равно предполагаемой генеральной дисперсии.

В качестве статистического критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину:

.

(7.3)

Эта величина случайная, так как в разных опытах S²принимает различные значения, имеет распределение по закону «Хи – квадрат»²с k = n–1 степенями свободы.

Рассматривается один из возможных случаев.

Нулевая гипотеза:

H0:2=20.

(7.4)

Конкурирующая гипотеза:

H1:2>20.

(7.5)

Для данного случая строится правосторонняя критическая область. При этом ставится условие, чтобы вероятность попадания критерия в эту область будет равна принятому уровню значимости , с учётом справедливости нулевой гипотезы:

P (2>2kp(; k)) =.

(7.6)

Критическую точку ²_kp(; k) находят по таблице критических точек распределения²(Приложение 3).

Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством:

²>²_kp.

Область принятия нулевой гипотезы определяется неравенством:

²<²_kp.

Значение критерия ²вычисляется по данным наблюдений по формуле (7.3) и обозначается²_набл. Тогда нулевую гипотезу о параметрах распределения:

1. Отвергают при выполнении условия:

   2набл>2kp.

   (7.7)

2. Принимают при условии:

2набл<2kp.

(7.8)

Пример 1. Из генеральной совокупности, распределенной нормально, извлечена выборка объёма n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S²= 25 .

Требуется проверить нулевую гипотезу, которая принимается по (7.4), предполагая неизвестное значение генеральной дисперсией равным 20.

Нулевая гипотеза: H₀:²=²₀= 20.

Конкурирующая гипотеза принимается по (7.5). H₁:²> 20.

Задаётся минимальный уровень значимости = 0,01.

Таким образом, в задаче дано:

n = 21. S² = 25.²₀ = 20.= 0,01.

Решение.

По формуле (7.3) можно найти наблюдаемое значение критерия:

.

По таблице критических точек распределения ²(Приложение 3), зная уровень значимости= 0,01 и число степеней свободы: k =n–1=20, можно найти критическую точку:

²_kp (=0,01; k=20)=37,6.

Так как конкурирующая гипотеза по условию: H₁:²> 20, то критическая область правосторонняя. Наблюдаемое значение критерия²_набл=25, критическое значение статистического критерия²_kp=37,6.

По (7.8), если ²набл <²_kp, нулевая гипотеза о параметрах распределения принимается.

В итоге можно сформулировать алгоритм проверки гипотез о параметрах распределения:

1. Выбрать нулевую – H₀и конкурирующую – H₁гипотезы.

2. Задать уровень значимости .

3. Выбрать статистический критерий ².

4. По формуле (7.3) найти ²_набл.

5. Найти критическую точку ²_kp(; k) по таблице Приложения 3.

6. Принять решение по выдвинутой гипотезе.

Решение носит вероятностный характер. Поэтому, если выдвинутая гипотеза не подтверждается, то делают заключение, что данные эксперимента не подтверждают гипотезу H₀.