Часть 1. Основания математики Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода

Особенностью развития науки в различных областях деятельности человечества заключается в исторически формируюшейся тенденции создания и использования одних и тех же методов во многих её областях. Наиболее активно и результативно этот процесс наблюдается в математике, её методы используются не только в точных науках, но и в науках далёких от математики: экологии, экономике, социологии и т.д.

Соответственно появилась необходимость в формировании современной математики, которая могла бы отражать связи с другими науками. Со временем выработалось направление по решению общих задач в отличие от существующего ранее подхода, заключающегося в рассмотрении конкретных задач. Например, принцип работы ЭВМ является единым для всех типов компьютеров. Если бы было иначе, пришлось бы пользователю перед работой ознакомиться с принципом работы конкретного компьютера. Следовательно, потребовалось бы для работы пользователя создавать описание архитектуры каждого типа компьютера.

Таким образом, выработалось направление в разных областях науки, которое требует выделить главные принципы, отбросив менее существенные.

В результате такого подхода сформировалась аксиоматическая теория, на основе которой появился метод, который называется аксиоматическим методом. Фундаментом аксиоматического метода является дедуктивный метод. Дедукция построена на логическом умозаключении от общих суждений к частным. Дедуктивный метод есть способ, при котором частные положения логически выводятся из общих (аксиом, постулатов, правил, законов). Дедукция тесно связана с индукцией, основанной на логическом умозаключении от частных суждений к общим.

1.1. Понятие аксиоматического метода

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.

Аксиоматический метод– способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. Аксиоматический метод позволяет получить выводы по данной теории в виде теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.

Исторические подробности.В III в. до н.э. Евклид применил аксиоматический метод в геометрии. После III в. до н.э. геометрия развивалась очень медленно, так как требовались новые идеи и методы. Уже в те времена требовалось развитие понятия числа и других понятий алгебры. Первые попытки в этом направлении были сделаны в работах Диофанта (Греция, III в. н.э). Позже в Индии были открыты: десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа. В IX в. дальнейшее развитие получила алгебра. В конце XI в. было дано определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Французский философ и математик Рене Декарт [1596-1650] в своём труде «Геометрия» (1637г.) впервые представил метод координат на плоскости, этим самым установив взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически стройного построения геометрии, так как аксиоматически построенная теория должна удовлетворять конкретным математическим требованиям. Эти требования заставили обратить внимание математиков на пятый постулат геометрии Евклида (аксиома параллельности). Однако попытки пересмотреть пятый постулат геометрии Евклида, которые длились в течение более тысячи лет, были безуспешными. В начале ХIХ века учёные предположили идею существования геометрии, отличающейся от евклидовой. Русский ученый Николай Иванович Лобачевский [1792–1856 гг.] полностью решил проблему независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии и показал, что аксиомы могут подвергаться изменению. В результате появилась новая теория, которую стали называть геометрией Лобачевского. Немецкий математик Георг Риман [1826-1866] занимался дальнейшим развитием неэвклидовой геометрией, по его теории пространство Евклида и Лобачевского рассматривались как частные случаи более общего, риманова пространства.

Дальнейшее развитие аксиоматического метода было вызвано исследованием понятия натурального числа. Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика ХIХ века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Была предложена аксиоматика, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. Большое внимание на исследование природы натурального числа оказала и созданная в ХIХ веке теория множеств.