3.2. Формат с плавающей точкой

Для представления чисел в нормальной форме используются форматы разной длины. В общем случае в разрядной сетке форматов должны отводиться места для знака мантиссы (старший 31 разряд), знака порядка (предшествующий 30 разряд), значения порядка (например, 6 разрядов как в ЕС ЭВМ, с 29-го по 24-ый), в остальные 24 разряда (с 23-го по 0-ой) записывается мантисса числа. На рис. 4.4 представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

31 30 29 24 23 1 0

Рис. 3.2. Примерный формат с плавающей точкой

В различных ЭВМ используются различные форматы с плавающей точкой.

В ЕС ЭВМ используются три формата: короткий Е (4 байта), длинный D (8 байт) и повышенной точности (16 байт). В СМ ЭВМ, а также в некоторых мини и микроЭВМ, например PDP-11, используются 2 формата: с обычной точностью (4 байта) и с двойной точностью (8 байт). Особенностями нормальной формы в ЕС и СМ ЭВМ являются следующие:

1). Смещение числовой оси порядков в область положительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака.

В ЕС ЭВМ во всех форматах 7 разрядов отводится под значение порядка и его знак. Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне -2⁶ ≤ P ≤ 2⁶-1 или -64 ≤ P ≤ 63.

Смещенный порядок, называемый характеристикой, определяется смещением порядка на +2⁶ = 64₁₀ = 40₁₆, т.е. характеристика Р_х = Р + 40₁₆ не имеет знака.

Характеристика может принимать значения в диапазоне 0 ≤ Р_х ≤ 127₁₀ = 7F₁₆, и под ее значение отводятся 7 разрядов (2⁷-1 = 127). Очевидно, если Р_х = 40₁₆,то Р = 0, если Р_х < 40₁₆ ,то порядок отрицательный (Р < 0), при Р_х > 40₁₆ — порядок положительный (Р > 0).

Максимальное число в формате Е: |A|_max = (1 – 2^-24 )×2⁶³ ≈ (2¹⁰)⁶ ×2³ ≈ (10³)⁶×2³ = 8×10¹⁸

В СМ ЭВМ в разрядной сетке под порядок отводится 8 двоичных разрядов (-2⁷ ≤ P ≤ 2⁷-1), под мантиссу — 23 (в формате двойной точности – 55 разрядов). Здесь также используется беззнаковый порядок, смещенный на 2⁷=128₁₀=200₈=80₁₆, который меняется в диапазоне 0 ≤ P_х ≤ 255₁₀ = 377₈ = FF₁₆.

Максимальное число в СМ ЭВМ в формате обычной точности при Р_max =127 имеет значение:

|A|_max = (1 – 2^-23 )×2¹²⁷ ≈ (2¹⁰)¹² ×2⁷ ≈ (10³)¹²×10² = 10³⁸

Остальные форматы отличаются только разрядностью мантиссы.

2). В СМ ЭВМ есть еще одна особенность форматов с плавающей точкой. Так как старшая цифра нормализованной мантиссы должна быть 1, то это позволяет не хранить её, а только предполагать её наличие. Такое представление как бы увеличивает разрядность мантиссы (т.е. в операциях участвуют 24 (для чисел одинарной точности) и 56 разрядов (для чисел двойной точности)) а значит и точность расчетов.

Пример 3.17. Представим в разрядной сетке формата обычной точности два числа: А = 32008,5₁₀ = 7D08,8_1б и В = -32008,5₁₀ = -7D08,8_1б.

Для этого найдем нормализованные мантиссы и смещенные порядки:

Для В ЕС ЭВМ: M_A = 0,7D088, Р_хA =40 + 4 = 44;

M_B = - 0,7D088, Р_xB = 40 + 4 = 44 (см. рис. 4.5).

Рис. 3.3. Представление чисел в формате Е

Для СМ ЭВМ: M_A = 0,FA11, Р_A =80 + F = 8F;

M_B = - 0,FA11, Р_A = 80 + F = 8F.

После учета скрытого разряда мантисса будет иметь вид:

M’_A = 0,F422, M’_B = - 0,F422.

В IBM PC (с процессором Intel 80x86) используется 3 формата с плавающей точкой:

• короткое вещественное (КВ, 4 байта, смещенный порядок занимает 8 бит, мантисса – 23 бита, single);

• длинное вещественное (ДВ, 8 байтов, смещенный порядок занимает 11 бит, мантисса – 52 бита, double);

• временное вещественное (ВВ, 10 байтов, смещенный порядок занимает 15 бит, мантисса – 64 бита, extended).

Особенностями нормальной формы в IBM PC являются следующие:

1. Мантисса всегда записывается в виде: 1,m₁m₂… Т.е. целая часть всегда равна 1 и в форматах КВ и ДВ прямо в мантиссе не представляется, а учитывается неявно при выполнении операций. В формате ВВ старший бит мантиссы представляется явно.

2. Порядок также записывается в смещенном виде, однако величина смещения в разных форматах разная:

• в КВ – 2⁷-1=127₁₀=177₈=7F₁₆,

• в ДВ – 2¹⁰-1=1023₁₀=1777₈=3FF₁₆,

• в ВВ – 2¹⁴-1=16383₁₀=37777₈=3FFF_16.

Отсюда величина смещенного порядка лежит в пределах:

• в КВ – 0 ≤ P_х ≤ 254₁₀ = 376₈ = FE₁₆,

• в ДВ – 0 ≤ P_х ≤ 2046₁₀ = 3776₈ = 7FE₁₆,

• в ВВ – 0 ≤ P_х ≤ 32766₁₀ = 77776₈ = 7FFE_16.

Получается, что для представления вещественных чисел используется только часть значений порядка. Так например, в форматах КВ и ДВ значение порядка FF₁₆ и 7FF₁₆ используется для кодирования ±∞, при этом в поле мантиссы все нули (+∞, если бит знака 0, -∞, если бит знака 1) и для обозначения «не чисел» (NAN – not a number), когда в поле мантиссы не нулевое значение.

Формат КВ (как и формат обычной точности в СМ ЭВМ) позволяет представить максимальное число ≈10³⁸, формат ДВ уже – ≈10³⁰⁸, а формат ВВ – ≈10⁴⁹³². Точность представления чисел приближенно соответствует:

• в КВ – 7-8 значащих десятичных цифр,

• в ДВ – 15-16 значащих десятичных цифр,

• в ВВ – 19-20 значащих десятичных цифр.

Формат ВВ обеспечивает максимальный рабочий диапазон значений вещественных чисел и является основным: в нем выполняются все операции арифметическим сопроцессором.