Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Магазинников Л.И., Магазинников А.Л

координатная форма уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) перпендикулярно N. Обозначим −Ax0 − By0 = C. Тогда (7.7) приводится к виду

общее уравнение прямой. Подчеркнём, что в общем уравнении прямой коэффициенты A, B определяют вектор N, перпендикулярный данной прямой. Этот вектор называют вектором нормали прямой.

Пусть B =6 0. Обозначая k = −BA , b = −BC , уравнение (7.8) пере-

пишем в виде y = kx + b уравнение прямой с угловым коэффициентом. Величина k равна тангенсу угла наклона прямой к оси OX, а величина b по модулю равна длине отрезка, отсекаемого прямой на оси OY .

Задача 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) с радиусом-вектором r0 параллельно заданному вектору l(m, n). Вектор l называют направляющим вектором прямой.

Произвольная точка M (x, y) (её радиус-вектор обозначим r(x, y)) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда r − r0 k l, т.е. если r − r0 = tl или

параметрическое уравнение прямой в векторной форме. В координатной форме уравнение (7.9) имеет вид

параметрические уравнения прямой в координатной форме. Уравнения (7.10) можно переписать в виде

каноническое уравнение прямой. В частности, если прямая проходит через точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1), то в качестве вектора l можно взять вектор (x1 − x0, y1 − y0) и уравнение (7.11) записать в виде

уравнение прямой, проходящей через точки (x0, y0) и (x1, y1).

Задача 3. Дана прямая L общим уравнением Ax + By + C = 0. Найдите расстояние от точки M1(x1, y1) до прямой (рис. 7.5).

Пусть M0(x0, y0) любая точка на прямой L.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y = k1x + b1 и y = k2x + b2, то тангенс одного из углов между прямыми можно найти по формуле

tg ϕ = k2 − k1 .

1 + k1k2

84 7. Приложение линейной алгебры

Пример 2. На отрезке [1, 4] задана функция, график которой приведён на рисунке 7.6. Записать аналитическое выражение этой функ-

из которой находим k2 = −2, b2 = 10. Следовательно, прямая CD имеет уравнение y = −2x + 10. Аналитически функцию f (x) можно

Решение. а) Так как прямая AH перпендикулярна BC, то в качестве вектора нормали к прямой AH можно взять любой параллельный BC вектор. BC = (−9, −4) k (9, 4). Уравнение прямой AH можно записать в виде 9x + 4y + C = 0. Так как точка A лежит на прямой AH, то 9 − 4 + C = 0, C = −5. Получаем уравнение прямой AH в виде 9x + 4y − 5 = 0.

а так как она проходит через точку A(1, −1), то её уравнение x = 1.

7.4. Уравнение плоскости

Задача 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) с радиусом-вектором r0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N(A, B, C). (Вектор N называется вектором нормали плоскости.)

Как и при решении задачи 1 из подраздела 7.3, получаем

векторная форма уравнения плоскости, где r = (x, y, z) радиусвектор произвольной точки плоскости. В координатной форме (7.13)

можно записать в виде A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 или, обозначая −Ax0 − By0 − Cz0 = D,

В этом случае можно положить N = [l1, l2], из (7.13) получить

В частности, если плоскость проходит через точки M0(x0, y0, z0),

M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то можно в (7.14) и (7.15) положить

l1 = M0M1, l2 = M0M2, т.е. m1 = x1 − x0, n1 = y1 − y0, p1 = z1 − z0;

m2 = x2 − x0, n2 = y2 − y0, p2 = z2 − z0.

Задача 3. Охарактеризовать взаимное расположение трёх различ-

(N1, N2, N3) =6 0. Если же (N1, N2, N3) = 0 и среди векторов Ni нет параллельных, то эти плоскости пересекаются либо по трём парал-

лельным прямым, либо по одной прямой.

Предлагается самостоятельно охарактеризовать случай, когда среди векторов Ni есть параллельные.

Задача 4. Найдите расстояние от точки M1(x1, y1, z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Совершенно аналогично, как и при выводе формулы (7.12),

получаем d = |Ax1√+ By1 + Cz1 + D|.

A2 + B2 + C2

7.5. Уравнения прямой в пространстве

Задача 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) с радиусом-вектором r0 параллельно вектору l(m, n, p). (Вектор l называют направляющим вектором прямой.) Пусть r радиус-вектор произвольной точки прямой. Тогда r−r0 k l, а поэтому

r = r0 + tl

параметрическое уравнение прямой в векторной форме. Выражая через координаты, получаем

( x = x0 + tm,

y = y0 + tn,

z= z0 + tp

параметрические уравнения прямой в координатной форме. Воспользовавшись условием параллельности двух векторов (их координаты пропорциональны), находим

канонические уравнения прямой. Если прямая проходит через точки

M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1), то в качестве вектора l можно взять вектор M0M1(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0), т.е. m = x1 − x0, n = y1 − y0,

p = z1 − z0.

называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Задача. Получить уравнение эллипса.

Пусть F1 и F2 фокусы (рис. 7.10). Положим |F1F2| = 2c. Декартову систему координат выберем следующим образом: ось OX направим по прямой F1F2, а начало поместим в середину отрезка F1F2. Тогда F1(−c, 0), F2(c, 0). Пусть M (x, y) произвольная точка эллипса. Тогда |F1M| + |F2M| = 2a (величина a дана, причём a > c).

го расположены на прямых x = ±a, y = ±b (рис. 7.11).

90 7. Приложение линейной алгебры

Число a в уравнении (7.20) называют большой, а b малой полуосью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса,

где d расстояние от точки M эллипса до директрисы x = aε , а

r1 = a + εx, r2 = a − εx, фокальные радиусы точки M . Если c = 0, то a2 = b2 и эллипс превращается в окружность, при этом ε = 0.

Пример. Докажите, что уравнение x2 + 4x + 4y2 − 16y − 4 = 0 определяет эллипс. Найдите координаты его центра симметрии и эксцентриситет.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квад-

7.7. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы. Задача. Получить уравнение гиперболы.

Положим |F1F2| = 2c. Систему координат выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда F1(−c, 0), F2(c, 0). Если M (x, y) произ-

> a. Последнее уравнение и определяет гиперболу. Проведя упрощение этого уравнения, как и в случае эллипса, обозначив