§ 32. Методы определения вязкости

1. Метод Стокса. Этот метод определе­ния вязкости основан на измерении скоро­сти медленно движущихся в жидкости не­больших тел сферической формы.

На шарик, падающий в жидкости вер­тикально вниз, действуют три силы: сила тяжести P = ⁴/₃r³g ( — плотность ша­рика), сила Архимеда F_A = ⁴/₃r³'g (' — плотность жидкости) и сила сопротивле­ния, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6rv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномер­ном движении шарика

p = f_a + f,

57

или

⁴/₃r³g = ⁴/₃г³'g + бrv, откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля. Этот метод осно­ван на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мыс­ленно выделим цилиндрический слой ради­усом r и толщиной dr (рис. 54). Сила внут­реннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS — боковая поверхность цилиндри­ческого слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьша­ется.

Для установившегося течения жидко­сти сила внутреннего трения, действую­щая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, дей­ствующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим

Отсюда видно, что скорости частиц жид­кости распределяются по параболиче­скому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис.53). За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

§ 33. Движение тел в жидкостях и газах

Одной из важнейших задач аэро- и гидро­динамики является исследование движе­ния твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движе­ния морских судов.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействую-

58

щую их обозначим R), одна из которых (R_x) направлена в сторону, противопо­ложную движению тела (в сторону по­тока),— лобовое сопротивление, а вторая (R_y) перпендикулярна этому направле­нию— подъемная сила (рис.55).

Если тело симметрично и его ось сим­метрии совпадает с направлением скоро­сти, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать,

что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопро­тивления. Если рассмотреть движение ци­линдра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как от­носительно прямой, проходящей через точ­ки A и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. е. ре­зультирующая сила давления на повер­хность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличе­нии скорости обтекания). Вследствие вяз­кости среды в области, прилегающей к по­верхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими ско­ростями. В результате тормозящего дейст­вия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончаю­щейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидко­сти (газа), направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противо­положные стороны (рис. 57).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным ко­эффициентом сопротивления С_х, определя­емым экспериментально:

где  — плотность среды; v — скорость движения тела; S — наибольшее попере­чное сечение тела.

Составляющую R_x можно значитель­но уменьшить, подобрав тело такой фор­мы, которая не способствует образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определе­на формулой, аналогичной (33.1):

где С_у — безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется боль­шая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки а (угол к потоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетво­ряет этому условию, чем больше величина К=С_у/С_х, называемая качеством крыла. Большие заслуги в конструировании тре­буемого профиля крыла и изучении влия­ния геометрической формы тела на ко­эффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).

59

Контрольные вопросы

• Что такое давление в жидкости? Давление — величина векторная или скалярная? Какова единица давления в СИ?

• Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.

• Что называют линией тока? трубкой тока?

• Что характерно для установившегося течения жидкости?

• Каков физический смысл и как вывести уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости?

• Какой закон выражает уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости? Выведите это уравнение.

• Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? полное давле­ние?

• Что такое градиент скорости?

• Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?

• Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует число Рейнольдса?

• Поясните (с выводом) практическое применение методов Стокса и Пуазейля.

• Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидкости? Может ли оно быть равным нулю?

• Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис. 55)?

Задачи

6.1. Полый железный шар (=7,87 г/см³) весит в воздухе 5 Н, а в воде ('=1 г/см³) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определить объем внутренней полости шара. [ 139 см³ ]

6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м² и объемом V=3 м³ запол­нен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время t, необходимое для опусто­шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S₁ = 10 см².

6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой Н = 5 м, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения d₁ = 6 см, верхнего — d₂ = 2 см. Вы­сота сопла h = l м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность р давления в нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды =1 г/см³. [ 1) 2gH d²/4 = 3,l X10^-3 м³/с; 2) p = gh+gH(l-d⁴₂/d⁴₁)=58,3 кПа ]

6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхности которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h₁=64 см ниже уровня воды в со­суде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h₂ = 25 см от дна сосуда. Прене­брегая вязкостью воды, определить, на каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]

6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность =1,2 г/см³), падает с устано­вившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (' = 2,7 г/см³) диаметром 1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина. [1,6 Па•с]

6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высо­те h₁ =5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d=2 мм и длиной l=1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность  = 0,9 г/см³ и динамиче­ская вязкость =0,1 Па•с) на высоте h₂ = 80 см выше капилляра. Определить, на каком

60

расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия. [ s=d²h₂2gh₁(/(32/) = 8,9 см]

6.7. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воздухе (=1,29 г/см³) стальной шарик (' = 9 г/см³) массой m = 20 г. Коэффициент С_х принять равным 0,5. [ 94 см/с ]

* Ж. Пуазейль (1799—1868) — француз­ский физиолог и физик.

* Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

* Э. Торричелли (1608—1647) —итальян­ский физик и математик.

* Б. Паскаль (1623—1662) — француз­ский ученый.