Метод потенциалов

Метод позволяет находить оптимальный план перевозок транс­портной таблицы. В основе лежит следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы некоторый план транспортной задачи был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы ему соответствовала такая системаm+n чисел , для которой выполняются условия:

, ,, (1)

, . (2)

и называются потенциалами соответствующих пунктов отправления и пунктов назначения. Условия (1)-(2) называются условиями потенциальности.

План будем называть потенциальным, если для него существует системаи, удовлетворяющая (1)-(2). Тогда теорем коротко формулируется следующим образом.

Теорема. Для оптимальности транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы он был оптимален.

Достаточность. Пусть план потенциален, так что существует системаи, удовлетворяющая (1)-(2). Тогда для любого допустимого плана

,

т.е. стоимость перевозок по любому плану не меньше стоимости перевозок по потенциальному плану. Следовательно, планоптимален.

Необходимость. Будем рассматривать транспортную задачу, как задачу линейного программирования с минимизацией линейной формы

при соответствующих ограничениях. Заполним симплексную таблицу и рассмотрим двойственную к ней задачу, что легко получить из таблицы. Прямую таблицу будем заполнять, повернув.

	0= –	…	0= –	…	0= –	0= –	…	0= –	…	0= –	1
x11 y11 =	-1	…	0	…	0	1	…	0	…	0	c11
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
x1n y1n =	-1	…	0	…	0	0	…	0	…	1	c1n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xi1 yi1 =	0	…	-1	…	0	1	…	0	…	0	ci1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xij yij =	0	…	-1	…	0	0	…	1	…	0	cij
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xin yin =	0	…	-1	…	0	0	…	0	…	1	cin
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xm1 ym1 =	0	…	0	…	-1	1	…	0	…	0	Cm1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xmn ymn =	0	…	0	…	-1	0	…	0	…	1	Cmn
1 w=	a1	…	ai	…	an	b1	…	bj	…	bn	0

Получаем, что двойственная задача имеет вид:

при ограничениях

, ,,

т.е. ,,.

Пусть – оптимальное решение транспортной задачи. Тогда на основании теоремы двойственности двойственная задача имеет оптимальное решение

.

Убедимся, что эти числа являются потенциалами соответствующих пунктов транспортной задачи. Действительно, все как опорное решение двойственной задачи удовлетворяют неравенствам (1).

Если , то по второй теореме двойственности соответствующее ограничение

двойственной задачи обращается в строгое равенство

.