Системы счисления Основные определения

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется какой-либо физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.

Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. При этом десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.

Так, число 252,2 можно записать в виде выражения

.

Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр

основана на представлении этого числа в виде полинома

,

где . При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной и является, по существу, началом отсчета.

Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10. Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.

Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома

.

Каждый коэффициент данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа вP-ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой:

В качестве базисных чисел обычно берутся числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса в десятичной записи, например

12,43₈.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления. Это обусловлено тем, что любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры соответственно: 0 и 1. Тогда произвольное число x запишется в виде

или .

Ниже представлена таблица чисел в двоичной системе счисления

110	12		910	10012
210	102		1010	10102
310	112		1110	10112
410	1002		1210	11002
510	1012		1310	11012
610	1102		1410	11102
710	1112		1510	11112
810	10002		1610	100002

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными числами являются числа от нуля до пятнадцати включительно. Поэтому для обозначения базисных чисел одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10₁₀ = A₁₆ 12₁₀ = C₁₆ 14₁₀ = E₁₆

11₁₀ = B₁₆ 13₁₀ = D₁₆ 15₁₀ = F₁₆.

Например, число 175₁₀ в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF₁₆. Действительно,

.