7 Оцінка якості неперервних лінійних сак

У перехідному та сталому режимі

7.1 Мета заняття

Закріплення і поглиблення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визначення прямих та інтегральних показників як САК за кривою перехідної характеристики та кореневих показників якості САК за видом характеристичного рівняння та частотними характеристиками. Визначення значень коефіцієнтів помилок у сталому режимі, розрахунку значення помилки від задаючого впливу та визначення астатизму системи.

7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни. Ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1-7], а саме: якість САК, показники якості у перехідному режимі: час регулювання, перерегулювання, ступінь стійкості, коливальність, запаси стійкості за амплітудою та за фазою.

Стійкість системи автоматичного керування є необхідною, але недостат-ньою умовою працездатності. До САК висувають певні вимоги якості. Найбільш повною характеристикою якості системи є поточна помилка.

Якість системи оцінюють окремо у перехідному і сталому режимах.

Якість системи в перехідному режимі – це властивість системи на початковому відрізку часу , де– момент подачі на систему задаючого впливу.

Якість системи в сталому режимі – це властивість системи в асимптотиці при .

Для оцінки якості в перехідному режимі використовують одиничний східчастий вплив . Тоді помилка від задаючого впливу та помилка від збурювання відповідно дорівнюють:

(7.1)

де і– перехідні функції, які дорівнюють:

,якщо(7.2)

,якщо (7.3)

Однак, оцінювати якість систем по поточних помилках і перехідних функціях незручно, тому для оцінки якості систем використовують числові показники якості.

Показники якості САК поділяють на прямі та непрямі. Прямі показники якості визначаються безпосередньо за перехідною характеристикою САК.

До прямих показників відносять час регулювання та перерегулювання.

Час регулювання – це мінімальний час, після закінчення якого (з моменту подачі східчастого впливу) відхилення вихідної величини від сталого значення не перевищує деякої заданої величини, де– стале значення перехідної характеристики.

Перерегулювання – максимальне відхилення перехідної характеристики від сталого значення (рис.7.1):

, (7.4)

–максимальне значення перехідної характеристики

Рисунок 7.1 – Графік перехідної характеристики

Порядок побудови перехідної характеристики не залежить від місця додатка вхідного впливу. Тому достатньо буде розглянути, як будується перехідна характеристика під час дії будь-якого одного впливу, наприклад задаючого.

Нехай – дрібнораціональна функція. Якщо полюсицієї функції прості, тоді

, (7.5)

де.

Непрямі показники якості поділяються на кореневі, частотні, інтегральні.

До кореневих показників якості відносять ступінь стійкості та коливальність.

Ступінь стійкості визначається як відстань від уявної осі до найближчого кореня характеристичного рівняння досліджуваної системи , де– корінь характеристичного рівняння.

Ступінь стійкості характеризує швидкодію системи. За інших рівних умов чим більше , тим швидше загасає перехідний процес.

Коливальність характеризує міру схильності системи до коливань. Коливальність визначається як максимальне значення відношень уявної частини кореня характеристичного рівняння системи до дійсної.

. (7.6)

До частотних показників якості відносяться запас стійкості за амплітудою та запас стійкості за фазою. Частотні показники якості можна розрахувати двома способами: за допомогою логарифмічних частотних характеристик (рис. 7.2) та амплітудно-фазової частотної характеристики (рис. 7.3).

Рисунок 7.2 – Схема розрахунку частотних показників якості

за логарифмічними частотними характеристиками

Запас стійкості за фазою (рис.7.2) визначається як відстань від логарифмічної фазової частотної характеристики (ЛФЧХ) до прямоїна частоті зрізу. Частота зрізу– це частота, на якій логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ) перетинає вісь частот.

Запас стійкості за амплітудою (рис.7.2) визначається як відстань від ЛАЧХ до осі частот на частоті, на якій ЛФЧХ перетинає пряму.

Рисунок 7.3 – Схема розрахунку частотних показників якості

за амплітудно-фазовою частотною характеристикою

До інтегральних показників якості відносять інтегральну помилку , яка визначається при аперіодичному і монотонному перехідному процесі, та квадратичну інтегральну помилку, яка визначається при коливальному перехідному процесі.

, , (7.7)

де – перехідна складова помилки:

. (7.8)

Найбільш повною характеристикою якості системи в сталому режимі є помилка системи

. (7.9)

Якщо до системи прикласти два впливи й більше, то при обчисленні помилки зручно використовувати принцип суперпозиції, тобто обчислювати усталені помилки від кожного впливу окремо, а потім їх складати.

Помилку від задаючого впливу розраховують так:

, (7.10)

де – коефіцієнти помилок.

Коефіцієнти помилок є числовими характеристиками якості системи в сталому режимі. Коефіцієнт називають коефіцієнтом позиційної помилки та розраховують за формулою (7.11), коефіцієнтназивають коефіцієнтом швидкісної помилки та розраховують за формулою (7.12), коефіцієнт називають коефіцієнтом помилки за прискоренням та розраховують за формулою (7.13), аналогічно за іншими (7.14).

. (7.11)

. (7.12)

. (7.13)

. (7.14)

(7.15)

Система є статичною за впливом якщо. Якщо, тоді система астатична за впливом.

При постійному зовнішньому впливі стала помилкаі в статичних системах вона відмінна від нуля, а в астатичних – дорівнює нулю.

Астатична система має астатизм порядку , якщо першікоефіцієнтів помилок дорівнюють нулю, акоефіцієнт відмінний від нуля.

Система є астатичною за задаючим впливом у тому випадку, якщо вона містить у передатній функції системи інтегруючу ланку.

7.3 Контрольні запитання та завдання

1. Які показники якості системи розраховуються у перехідному режимі?

2. Які показники якості відносяться до прямих?

3. Як за графіком перехідної функції розрахувати час регулювання системи?

4. Дати визначення перерегулювання.

5. Як за графіком перехідної функції розрахувати перерегулювання системи?

6. Які показники якості належать до кореневих показників?

7. Що таке ступінь стійкості системи? Методика розрахунку.

8. Що таке коливальність системи? Методика розрахунку.

9. Які показники якості належать до частотних показників?

10. Як визначити запас стійкості за амплітудою та фазою за логарифміч-ними частотними характеристиками системи?

7.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Задано передатну функцію розімкненої САК . Побудувати перехідну характеристику замкненої САК з одиничним від’ємним зворотним зв’язком та розрахувати прямі та інтегральні показники якості замкненої системи.

Розрахуємо передатну функцію замкненої системи .

.

Зображення перехідної характеристики дорівнює:

.

Полюси наведеної функції прості та дорівнюють . Для визна-чення оригіналу перехідної характеристики можна скористатися формулою (7.5).

.

Тоді .

Графік перехідної функції замкненої системи наведено на рисунку 7.4.

h(t)

t

Рисунок 7.4 – Графік перехідної характеристики для прикладу 1

Прямі показники якості системи розраховуються за графіком перехідної характеристики. Для розрахунку часу регулювання виберемо та на графіку перехідної характеристики нарисуємо пряму на відстанівід усталеного значення перехідної характеристики. Точка, де перехідна характеристика останній раз перетинається з нарисованою прямою і дорівнюватиме часу регулювання.

Перерегулювання визначимо за формулою (7.4).

.

До інтегральних показників якості при монотонному перехідному процесі відносять інтегральну помилку , яка визначається за формулою (7.7).

.

Приклад 2. Задано передатну функцію досліджуваної системи

.

Розрахувати кореневі показники якості системи.

Для визначення ступеня стійкості та коливальності необхідно скласти характеристичне рівняння системи та знайти його корені.

,

,

.

Ступінь стійкості визначається як відстань від уявної осі до найближчого кореня характеристичного рівняння досліджуваної системи , таким чином.

Коливальність визначається за формулою (7.6) та дорівнює

.

Приклад 3. Задано передатну функцію розімкненої системи . Розрахувати помилку від задаючого впливу для замкненої системи з одиничним зворотним від’ємним зв’язком.

Знайдемо передатну функцію між входом та виходомсистеми.

.

Помилку від задаючого впливу розраховують за формулою (7.11). Для її визначення необхідно розрахувати коефіцієнти помилок.

;

.

Таким чином, помилка від задаючого впливу дорівнює:

.

Визначити за заданою передатною функцією розімкненої системи показники якості замкненої системи з одиничним зворотним від’ємним зв’язком в перехідному режимі варіанти завдань у додатку Д. Також визначити за заданою передатною функцією розімкненої системи показники якості замкненої системи з одиничним зворотним від’ємним зв’язком в сталому режимі.