1 Визначення передатних функцій та побудова часових характеристик неперервних лінійних сак

1.1 Мета заняття

Закріплення і поглиблення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визначення передатних функцій та часових характеристик лінійних неперервних САУ.

1.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни. Ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1,2,5], а саме: знаходження передатних функцій за диференційним рівнянням, яким описується система автоматичного керування, визначення часових характеристик за відомою передатною функцією та їх побудова.

Диференційне рівняння САУ в загальному вигляді подамо так:

(1.1)

де – вихідна величина;– вхідна величина;

–постійні коефіцієнти, які визначаються конструктивними особливостями та параметрами системи.

Використовуючи оператор диференціювання , який дорівнює, тобто записможна подати як, перейдемо від диференційного рівняння (1.2) до рівняння у символічній формі запису

(1.2)

Якщо винести в рівнянні (1.2) і за дужки і відокремити власний оператор –та оператор дії –отримаємо:

, (1.3)

тобто: ,

де – власний оператор – це диференціальний оператор з параметром, яким керують;

–оператор дії – це диференційний оператор при дії, який задається.

Передатною функцією в операторній формі називають відношення оператора дій до власного оператора за нульових початкових умов.

.(1.4)

Передатною функцією в зображеннях Лапласа називається відношення зображень Лапласа вихідної величини до вхідної за нульових початкових умов.

Передатна функція отримується зформальною підстановкою. Такий зв’язок між двома формами передатних функцій справедливий тільки для стаціонарних систем

. (1.5)

Передатна функція ланки системи та зображення її дії, яка задається визначають зображення параметра, яким управляють:

. (1.6)

Оригінал управляючого параметра знаходять за допомогою оберненого перетворення Лапласа:

. (1.7)

Часові характеристики є функціями часу, вони служать для оцінки динамічних властивостей елементів під час їхнього дослідження в області дійсної змінної . До часових характеристик належать: перехідна характеристика та імпульсна перехідна характеристика, яку ще називають ваговою характеристикою.

Перехідною функцією ланки називається функція , яка описує реакцію ланки на одиничну ступінчасту дію, за нульових початкових умов.

Імпульсною перехідною або функцією ваги ланки називається функція , яка описує реакцію ланки на одиничну імпульсну дію за нульових початкових умов.

Встановимо зв’язок між функціями ,і. Відповідно з визначенням функції вагипривихідна величина. Оскільки, то рівняння (1.4) при набуває вигляду

, (1.8)

звідки:

, (1.9)

тобто передатна функція є зображенням Лапласа функції ваги.

Відповідно до визначення перехідної функції при вихідна величина. Оскільки, то рівняння (1.4) принабуває вигляду:

або . (1.10)

Оскільки за нульових початкових умов множенню зображень на s відповідає диференціювання оригіналу, то, при переході до оригіналів з останнього рівняння отримаємо:

. (1.11)

1.3 Контрольні запитання та завдання

1. Назвіть методи описання систем автоматичного керування.

2. Поясність поняття ланки в теорії автоматичного керування.

3. Що таке динамічна ланка системи автоматичного керування?

4. Що таке типова ланка системи автоматичного керування?

5. Як визначається власний оператор системи?

6. Чому дорівнює передатна функція в операторній формі?

7. Чому дорівнює передатна функція в перетвореннях Лапласа?

8. Перелічіть часові характеристики систем автоматичного керування.

9. Як вони пов’язані між собою?

10. Як за відомою перехідною функцією визначити імпульсну перехідну?

1.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Задана лінійна неперервна стаціонарна система автоматичного керування, яка описується диференційним рівнянням виду:

,

де – вихідна величина системи;

–вхідна величина системи.

Необхідно визначити передатну функцію системи в операторній формі та в зображеннях Лапласа і побудувати часові характеристики системи.

Для визначення передатної функції в операторній формі необхідно використати оператор диференціювання , який дорівнює, та перейти від заданого диференційного рівняння до рівняння у символічній формі запису:

.

З отриманого рівняння визначити оператор впливу та власний оператор системи:

; .

Підставивши у вираз (1.6) значення, отримаємо:

.

Для передатної функції в зображеннях Лапласа :

.

Перехідна функція визначається з виразу (1.10) і якщо, підставити отриману передавальну функцію в зображеннях Лапласа і згідно з таблицею перетворень (додаток М) перейти до оригіналу функції отримаємо:

.

Імпульсна перехідна функція визначається з виразу (1.8), підставимо отриману передавальну функцію в зображеннях Лапласа і згідно з таблицею перетворень перейдемо до оригіналу функції і отримаємо:

.

Інший метод визначення імпульсної перехідної функції визначається з виразу (1.11):

.

Графіки часових функцій наведено на рисунку 1.1.

Приклад 2. Задано лінійну неперервну стаціонарну систему автома-тичного керування, яка описується диференційним рівнянням виду:

,

де – вихідна величина системи;

–вхідна величина системи.

Необхідно визначити передатну функцію системи в операторній формі та в зображеннях Лапласа і побудувати часові характеристики системи.

а) б)

Рисунок 1.1 – Часові характеристики:

а)перехідна характеристика; б) імпульсна (вагова) перехідна функція

Для визначення передавальної функції в операторній формі приймаємо і записуємо рівняння у символічній формі.

.

Винесемо іза дужки:

.

З отриманого рівняння записуємо передатну функцію в операторній формі:

.

Передавальна функція в зображеннях Лапласа дорівнює:

.

Перехідна функція визначається з виразу (1.10). Підставляємо отриману передавальну функцію в зображеннях Лапласа і отримаємо:

.

Для того, щоб скористатися таблицею перетворення, необхідно спростити отриману функцію під табличні значення, для цього необхідно знайти корені наведеної функції.

Корені функції дорівнюють: ,.

Підставимо їх у перехідну функцію і скористаємося таблицею перетворень:

Імпульсна перехідна функція визначається згідно з виразом (1.11), як

.

Графіки часових функцій наведено на рисунку 1.2 та 1.3.

Рисунок 1.2 – Перехідна характеристика

Рисунок 1.3 – Імпульсна перехідна характеристика

Визначити за заданим диференціальним рівнянням системи передатну та часову функції. Побудувати графіки перехідної та імпульсної перехідної функції. Варіанти завдань для домашньої роботи наведені в додатку А.