6 Дослідження стійкості неперервних лінійних сак

за частотними критеріями

6.1 Мета заняття

Вивчення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визна-чення стійкості САК за допомогою частотних критеріїв стійкості.

6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни, ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1,2,5-7], а саме: стійкість САУ за Ляпуновим, частотні критерії стійкості Михайлова, Найквіста та логарифмічний частотний критерій стійкості; стійкість систем із запізненням.

Частотні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість САК за виглядом їх частотних характеристик. Ці критерії є графоаналітичними та отримали широке розповсюдження, оскільки вони дозволяють порівняно легко досліджувати стійкість САК високого порядку, а також мають наочність та просту геометричну інтерпретацію.

Частотний критерій стійкості Михайлова: для того, щоб система автома-тичного керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб крива Михайлова при зміні частоти від0 до , починаючись при на дійсній додатній півосі, обходила тільки проти годинникової стрілки послідовноквадрантів (чвертей) координатної площини, де– порядок характеристичного рівняння, ніде не перетворюючись у нуль.

Крива Михайлова для стійких систем має плавну спіралеподібну форму, та кінець її прямує до нескінченності у квадранті, номер якого дорівнює ступеню характеристичного рівняння (рис.6.1).

Рисунок 6.1 – Приклади кривих Михайлова для стійких САК

Критерій Михайлова застосовують для дослідження стійкості як розімкнутих так і замкнутих систем. Критерій Найквіста призначений для дослідження тільки замкнутих систем. Він дозволяє за видом амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи судити про стійкість замкнутої системи.

Частотний критерій Найквіста: Припустимо, що коренів характерис-тичного рівняння розімкнутої системи знаходяться у правій напівплощині, а останні коренів – у лівій напівплощіни. Тоді для того, щоб замкнута система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика її розімкнутої системи із зростанням від 0 доохоплювала точкув додатному напрямку, тобто проти руху годинникової стрілки,разів.

Зокрема, якщо розімкнута система стійка , то для того, аби замкнута система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика її розімкнутої системи не охоплювала точку .

Якщо характеристичне рівняння розімкнутої системи має нульових коренів або, що те саме, передатна функція розімкнутої системи має вид, де, то система називається астатичною з астатизмом-го порядку.

6.3 Контрольні завдання

1. Сформулюйте критерій стійкості Михайлова.

2. Сформулюйте критерій стійкості Найквіста для випадку нестійкої розімкнутої системи.

3. Сформулюйте критерій стійкості Найквіста для випадку стійкої розімкнутої системи.

6.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Задано характеристичний полином системи:

.

Оцінити стійкість системи за критерієм Михайлова.

Спочатку необхідно підставити в нього =j та отримати вираз для побудови кривої Михайлова:

.

Для побудови кривої Михайлова подамо характеристичний поліном у вигляді:

,

, .

, .

Для побудови кривої розрахуємо значення дійсної та уявної частин характеристичного поліному при зміні частоти від 0 до  (табл. 6.1).

Таблиця 6.1 – Дані для побудови кривої Михайлова

	0	0<<1	1	1<<		>	 
	2	>0	1	>0	0	<0	 – 
	0	>0	0	<0	-1,4	<0	 – 

В межах квадранта вид кривої Михайлова (рис. 6.2) на стійкість не впливає, тому вона будується приблизно. За видом кривої можна зробити висновок, що задана система не стійка.

Рисунок 6.2 – Крива Михайлова для прикладу 1

Приклад 2. Оцінити стійкість замкнутої системи з одиничним від’ємним зворотним зв’язком за критерієм Найквіста, якщо задано передатну функцію розімкнутої системи:

.

Передусім необхідно отримати частотну передатну функцію розімкнутої системи та побудувати АФЧХ.

,

,

,

.

Для побудови АФЧХ розрахуємо значення дійсної та уявної частотних функцій при зміні частоти від 0 до  (табл. 6.2).

Таблиця 6.2 – Дані для побудови АФЧХ

	0	>0	
	–2	< 0	 0
	0	<0	 0

Рисунок 6.3 – АФЧХ розімкнутої системи для прикладу 2

АФЧХ розімкнутої системи (рис. 6.3) охоплює точку в додатному напрямку разів. Далі необхідно скласти характеристичне рівняння розімкнутої системи:

.

Характеристичне рівняння розімкнутої системи має один правий корінь, тобто . Отже замкнута система за критерієм Найквіста стійка, оскільки АФЧХ розімкнутої системи охоплює точку разів у додатному напрямку.

Оцінити за заданою передатною функцією розімкнутої системи (табл. Г.1) стійкість розімкнутої і замкнутої системи за критерієм Михайлова. Також оцінити за заданою передатною функцією розімкнутої системи стійкість замкнутої системи за критерієм Найквіста. Варіанти завдань для домашньої роботи наведено в додатку В.