5 Дослідження стійкості неперервних лінійних сак

за алгебраїчними критеріями

5.1 Мета заняття

Вивчення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визна-чення стійкості САК, знаходження області стійкості, граничних значень стійкості.

5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни, ознайомитися з матеріалами, які наведено у літературі [1–7], а саме: стійкість САК за Ляпуновим, алгебраїчні критерії стійкості, метод D-розбиття, поняття структурної стійкості систем, визначення області стійкості та граничних умов стійкості.

На будь-яку автоматичну систему завжди діють різні зовнішні дії, які можуть перешкоджати її нормальній роботі. Правильно спроектована система має стійко працювати при всіх зовнішніх діях. У найпростішому випадку під стійкістю САУ розумітимемо властивість системи повертатися у стан рівноваги після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з цього стану.

Для того, щоб лінійна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння були лівими.

Обчислення коренів просте для характеристичного рівняння першого та другого порядку. Для рівнянь третього та четвертого порядку загальні вирази для коренів громіздкі та незручні у використанні. Загальні вирази для коренів рівнянь вищих порядків не існують.

Тому важливе значення мають правила, які дозволяють визначати стій-кість системи без обчислення коренів характеристичного рівняння. Ці правила називають критеріями стійкості.

Алгебраїчні критерії дозволяють судити про стійкість САК за коефіцієнтами характеристичного рівняння (5.1).

(5.1)

Під час дослідження стійкості за допомогою алгебраїчних критеріїв, необхідно, перш за все, перевірити виконання необхідної умови стійкості, оскільки його перевірка не потребує ніяких розрахунків і при невиконанні цієї умови подальші дослідження проводити не треба.

Необхідна умова стійкості: для того, аби система була стійкою, необхідно, щоб коефіцієнти її характеристичного рівняння були одного знака:

(5.2)

Якщо необхідна умова не виконується, то система нестійка. Якщо необхідна умова виконується, то система при n  3 (n – порядок системи) може бути стійкою або нестійкою. Для встановлення стійкості необхідно скористатися будь-яким критерієм стійкості. Для систем першого та другого порядків необхідна умова (5.2) є достатньою.

Критерій стійкості Гурвіца формулюється так: для того, аби система автоматичного керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі визначники Гурвіца були додатними. (при ):

(5.3)

Для того, щоб скористатися критерієм Гурвіца, спочатку будують головний визначник Гурвіца за таким правилом: на головній діагоналі розташовують коефіцієнти в порядку збільшення їх індексів, починаючи з та закінчуючи . У кожному стовпчику під час руху від елемента, який знаходиться на головній діагоналі, вверх індекси коефіцієнтів збільшуються, вниз – зменшуються. При цьому на місці елементів з індексами, які перевищуютьп (під час руху вверх), та від’ємними індексами (під час руху вниз) ставляться нулі.

(5.4)

Викреслюючи у головному визначникові Гурвіца діагональні мінори, отримуємо визначники Гурвіца нижчого порядку:

, , … (5.5)

З критерію Гурвіца виходить, що при n =3 необхідна та достатня умова стійкості така:

, . (5.6)

Використовуючи критерій Гурвіца, можна за заданими параметрами системи прийняти за невідомий будь-який один параметр (наприклад, коефіцієнт підсилення) та визначити його граничне чи критичне значення, при якому система знаходитиметься на межі стійкості.

Критерій стійкості Льєнара–Шипара: якщо додатні всі коефіцієнти характеристичного рівняння системи, то для її стійкості необхідно та достатньо, щоб були додатними всі визначники Гурвіца з парними або непарними індексами.

, ,…, ; , , …,

або

, ,…, ; , , ….

Критерій Льєнара–Шипара потребує розкриття меншого числа визнач-ників, ніж критерій Гурвіца, і тому зручніший для дослідження стійкості САК високого порядку.

Критерій стійкості Рауса: лінійна САК, характеристичного багаточлена який дорівнює виразу (5.1), де , стійка, якщо всі елементи першого стовпця наступної таблиці додатні

. (5.7)

(5.8)

У першому стовпчику таблиці знаходяться парні коефіцієнти характерис-тичного поліному, у другому стовпчику не парні. Якщо степінь характерис-тичного поліному – парне число, тоді останній елемент другого рядка дорівнює нулю.

Більш докладно з цими питаннями можна ознайомитися в [1,с.140–145; 2,с.75–80; 5,с.114–127; 7,с.167–171; 8,с.132–135; 10,с.101–105].

5.3 Контрольні запитання та завдання

1. Поясніть поняття стійкості САК.

2. Поясніть поняття обуреного та не обуреного руху.

3. Сформулюйте поняття стійкість лінійних САК за Ляпуновим.

4. Що таке асимптотична стійкість?

5. Сформулюйте необхідні та достатні умови стійкості систем з харак-теристичним поліномом першого та другого порядків.

6. Що можна сказати про стійкість лінійної САК, якщо один корінь характеристичного рівняння чисто уявний, а решта – ліві?

7. Що таке критерії стійкості та чим викликана необхідність їх викорис-тання?

8. Які критерії відносяться до алгебраїчних?

9. Сформулюйте критерій стійкості Гурвіца.

10. Що таке граничний коефіцієнт підсилення?

5.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Визначити стійкість системи з одиничним від’ємним зворотним зв’язком, у розімкнутому та замкнутому стані, якщо задана передатна функція розімкнутої системи .

Складемо характеристичне рівняння розімкнутої системи: .

Необхідна умова не виконується: при коефіцієнт, тому розімкнена система нестійка.

Характеристичне рівняння замкнутої системи .

Необхідна умова стійкості виконується, тому достатньо перевірити умову (5.3):

, , , .

Отже, замкнута система є стійкою.

Приклад 2. Характеристичне рівняння системи має вигляд:

, де ,,,,.

Оцінити стійкість системи за критерієм Льєнара-Шипара і визначити критичне значення коефіцієнта та область його стійкості.

Передусім необхідно перевірити необхідну умову стійкості. Вона виконується, оскільки всі коефіцієнти характеристичного рівняння одного знака. Оскільки характеристичне рівняння системи четвертого порядку, тому виконання цієї умови недостатньо для оцінки стійкості системи і треба скористатися заданим критерієм Льєнара-Шипара.

Побудуємо головний визначник:

Перевіримо визначники Гурвіца з непарними індексами:

,

.

Визначники Гурвіца з непарними індексами більше нуля, отже замкнута система стійка.

Визначимо критичне значення коефіцієнта , прийнявши його за невідомий параметр:

звідси:

;

;

, , тобто при система стає нестійкою.

Область стійкості системи: система буде стійкою, якщо значення коефіцієнта а₄ знаходиться в інтервалі: .

Оцінити за заданою передатною функцією розімкнутої системи (табл. Г.1) стійкість розімкнутої та замкнутої системи за алгебраїчними критеріями. Визначити граничне значення коефіцієнта . Варіанти завдань для домашньої роботи наведені в додатку В.