2 Визначення частотних функцій та побудова частотних характеристик неперервних лінійних сак

2.1 Мета заняття

Засвоєння теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визна-чення частотних характеристик лінійних неперервних САК.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни, ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1,2,3,5], а саме: визначення передатних функцій за диференційним рівнянням, яким описується система автоматичного керування, визначення частотних характеристик за відомою передатною функцією системи та їх побудова.

До частотних характеристик належить комплексна передатна функція (ЧПФ) , яку можливо отримати, замінивши на упередатній функції в перетвореннях Лапласа.

Частотна передатна функція є комплексною функцією від змінної. Її, як і будь-яке комплексне число, можна записати в алгебраїчній та показникових формах:

, (2.1)

де – дійсна частина частотної передатної функції, яка називається дійсною частотною функцією (ДЧФ);

–уявна частина частотної передатної функції, яка називається уявною частотною функцією (УЧФ);

–модуль частотної передатної функції, який називається амплітудною частотною функцією (АЧФ);

–аргумент частотної передатної функції, який називають фазовою частотною функцією (ФЧФ).

На комплексній площині частотну передатну функцію визначає вектор ОС, довжина (модуль) якого дорівнює, а кут, утворений цим вектором з дійсною додатною піввіссю, дорівнює. Крива, яку описує кінець цього вектора при зміні частоти від 0 до нескінченності (годограф вектора), називається амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ).

Для визначення модуля та фази частотної передатної функції на заданій частоті слід відповідну точку годографа з’єднати прямою з початком координат. Довжина відрізка, який отримано, відповідає у визначеному масштабі модулю, а фаза визначається кутом, утвореним цією прямою та додатною піввіссю дійсних величин (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Амплітудно-фазова частотна характеристика

Дійсну частотну функцію розраховують у такий спосіб:

. (2.2)

Графік залежності відназивають дійсною частотною характерис-тикою (ДЧХ).

Уявну частотну функцію можна визначити так:

. (2.3)

Графік залежності відназивають уявною частотною характерис-тикою (УЧХ).

АЧФ визначається відношенням амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вхідного гармонічного сигналу в усталеному режимі:

. (2.4)

АЧФ визначається як модуль частотної передатної функції:

. (2.5)

Графік залежності відназивають амплітудно-частотною характерис-тикою (АЧХ). АЧХ показує, як пропускає ланка сигнали різних частот. Оцінка пропускання робиться відносно амплітуд вихідної та вхідної величин.

ФЧФ визначається зсувом фази вихідного сигналу та як аргумент частотної передатної функції:

, (2.6)

(2.7)

Графік залежності відназивають фазочастотною характеристикою (ФЧХ). Вона показує фазові зсуви, які вносить ланка на різних частотах. Оцінка пропускання робиться відносно амплітуд вихідної та вхідної величин.

2.3 Контрольні запитання та завдання

1. Для чого використовуються частотні характеристики системи автома-тичного керування?

2. Які частотні функції Вам відомі? Поясніть їх фізичний зміст.

3. Як будується АФЧХ системи за відомою передатною функцією?

4. Який висновок можна зробити про роботу системи за її АЧХ?

5. Який висновок можна зробити про роботу системи за її ФЧХ?

6. Що таке логарифмічні частотні характеристики? В якій системі координат вони будуються?

7. У чому полягають переваги логарифмічних частотних характеристик?

2.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Знайти та побудувати всі частотні характеристики системи, яка задана передатною функцією

Змінюємо нау заданій передатній функції для отримання ЧПФ

.

Позбавимося ірраціональності в знаменнику, помноживши його на комплексно спряжене число, та виділимо дійсну та уявну частини:

.

ДЧФ: . УЧФ: .

АЧФ визначаємо, як модуль частотної передатної функції

.

В таблиці 2.1 наведено розрахунки для побудови АФЧХ (рис. 2.2, а) та АЧХ (рис. 2.2, б).

Таблиця 2.1 – Дані для побудови АФЧХ та АЧХ

0	0	-	
1	0	-5	5
	0	0	0

а) б)

Рисунок 2.2 – Графік АФЧХ та АЧХ

Оскільки ,, згідно з виразом (2.7) ФЧФ визначається як:

.

Графік ФЧХ наведено на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 – Графік ФЧХ

Приклад 2. Знайти та побудувати всі частотні характеристики системи, яка задана передатною функцією ,,.

Для отримання ЧПФ замінимо нау заданій передатній функції:

.

Позбавимося ірраціональності в знаменнику, помноживши його на комплексно спряжене число, та виділимо дійсну та уявну частини:

ДЧФ: .

УЧФ: .

АЧФ:

.

Для побудови АФЧХ розрахуємо значення ДЧФ та УЧФ залежно від частоти, а також розрахуємо АЧФ, наведене в таблиці 2.2. На рисунку 2.4, а зображена АФЧХ, а на рисунку 2.4, б – АЧХ.

Таблиця 2.2 – Дані для побудови АФЧХ та АЧХ

0	5	0	5
1,25	2,5	-2,5	1,58
	0	0	0

Оскільки ,ФЧФ визначається як:

.

Графік ФЧХ наведено на рисунку 2.4, в.

А

а) б)

в)

Рисунок 2.4 – Частотні характеристики АФЧХ, АЧХ та ФЧХ

Визначити за заданим диференціальним рівнянням системи всі частотні функції та побудувати їх графіки. Варіанти завдань для домашньої роботи наведено в додатку А.