12 Дослідження нелінійних систем методом

гармонічної лінеаризації

12.1 Мета заняття

Вивчення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок дослід-ження нелінійних систем методом гармонічної лінеаризації.

12.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни, ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1,2,5–7]:

Метод гармонічної лінеаризації, або метод гармонічного балансу, розроблений й обґрунтований для дослідження періодичних режимів. Його можна використати й для дослідження стійкості і якості нелінійних систем. Цей метод є наближеним і застосовується, якщо лінійна частина, яка йде за нелінійним елементом, має властивість фільтра низьких частот.

Позитивна якість методу полягає в тому, що його застосування не обмежується порядком системи, тобто порядком диференційного рівняння, яким описується система.

НЛ – нелінійна ланка;

ЛЧ – лінійна частина.

Рисунок 12.1 – Типова структурна схема нелінійної САК

Рівняння, що описують нелінійну САУ (рис.12.1), мають вигляд:

, , (12.1)

.

Приймемо, що вплив на вході системи (потім ці обмеження знімемо).

Припустимо, що в системі виникає періодичний режим. Тоді нелінійна функція є періодичною функцією часу. Розклавши її в ряд Фур'є, одержимо

, (12.2)

де – коефіцієнти Фур'є;

;

Т – період,

(...) – вищі гармоніки.

Приймемо гіпотезу фільтра, тобто умову

, (12.3)

де

Цю умову, поки не визначена частота періодичного режиму, не можна перевірити, але можна прийняти як гіпотезу.

За умови (12.3) вищі гармоніки на вихідну величину лінійної частини не роблять істотного впливу. Тому при визначенні змінної у вищими гармоніками можна зневажити й рівняння (12.1) подати у вигляді

,

, (12.4)

.

Якщо постійна складова в ряді Фур'є , то, враховуючи тотожність

,

де ,з рівнянь (12.4) можна одержати (розглядається сталий процес):

,

де ,.

Таким чином, якщо в системі (рис. 12.1) виникає періодичний режим і лінійна частина є фільтром низьких частот, то коливання на виході лінійної частини й відповідно на вході нелінійної ланки є гармонічними.

Виберемо початок відліку часу так, щоб . Тоді підставивши в рівняння (12.4) ,, приодержимо рівняння

,

, (12.5)

де

, (12.6)

, (12.7)

Система (12.5) при фіксованих амплітуді А і частоті ω є лінійною. Перехід від нелінійної системи (12.1) до системи (12.5) називається гармонічною лінеаризацією. Коефіцієнти таназиваються коефіцієнтами гармонічної лінеаризації. Передатну функцію [див. друге рівняння (12.5)]назвемо гармонічною передатною функцією й відповідно– гармонічною частотною пере-датною функцією нелінійного елемента.

Нелінійний елемент після гармонійної лінеаризації можна подати у вигляді лінійної ланки з передатною функцією .

Співвідношення (12.5) отримані за умови, що постійна складова ряду Фур'є і зовнішній вплив. При симетричному коливанні вхідної величини нелінійної ланки, тобто при(відсутня постійна складова), коефіцієнт, якщо характеристика нелінійного елемента є симетричною відносно початку координат.

Таким чином, коливання симетричні та для їх дослідження можна використати співвідношення (12.5), якщо характеристика нелінійного елемента є симетричною відносно початку координат і зовнішній вплив .

У загальному випадку, коли зовнішній вплив відмінний від нуля й має вигляд , для симетричності коливань і застосовності співвідношень (12.5) крім симетричності нелінійної характеристики, потрібно, щоб лінійна частина містила не меншпослідовно з'єднаних інтегруючих ланок,потрібно розглядати як узагальнений вплив, який враховує всі зовнішні впливи. Інакше, при симетричній відносно початку координат нелінійній характеристиці умова симетричності коливань збігається з умовою рівності нулю сталої помилки в системі без нелінійного елемента.

Розглянемо нелінійні елементи із симетричними відносно початку координат характеристиками.

У випадку однозначної характеристики функція є непарною й коефіцієнт. Дійсно, внаслідок парності функціїпідінтегральний вираз в (12.6) є непарним та інтеграл дорівнює нулю.

Підінтегральний вираз в (12.7) є парним, і тому

.

Формули для визначення коефіцієнтів гармонічної лінеаризації типових нелінійних ланок наведено у додатку К.

Під час використання методу гармонічної лінеаризації, природно, приймається, що гіпотеза фільтра виконується. Тоді, як показано, якщо в системі виникає періодичний режим, то на виході лінійної частини і на вході нелінійного елемента він є гармонічним: . Тому періодичний режим однозначно визначається частотою ω і амплітудоюА. Найбільш повно розроблені методи визначення частоти й амплітуди автоколивань на основі критеріїв Найквіста (метод Гольдфарба) і Михайлова (метод Е.П. Попова).

12.3 Контрольні запитання та завдання

1. Що означає гармонічна лінеаризація нелінійних характеристик і як вона виконується?

2. У чому полягає принципова різниця між гармонічною і звичайною лінеаризаціями несуттєвих нелінійностей?

3. Який вигляд мають гармонічно лінеаризовані передатні функції нелінійних ланок з однозначними непарними характеристиками?

4. Який вигляд мають гармонічно лінеаризовані передатні функції нелінійних ланок з неоднозначними непарними характеристиками?

5. Який вигляд мають гармонічно лінеаризовані передатні функції нелінійних ланок з характеристиками, несиметричними відносно початку координат?

6. Як визначити параметри автоколивань методом Гольдфарба?

7. Як визначити параметри автоколивань методом Є.П. Попова?

12.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Дослідити за методом Гольдфарба автоколивання в нелінійній системі (рис. 12.1) з лінійною частиною, яка має передатну функцію W_л (р) = =10/(р1)³, та ідеальним реле.

Коефіцієнт гармонічної лінеаризації ідеального реле q(А)=4с/(πА). Для спрощення розрахунків візьмемо с=π. Тоді q(А)=4/А. В режимі автоколивань система знаходиться на межі стійкості. За критерієм Найквіста, ця умова має вигляд

.

Підставивши p=jω, отримаємо 40/А=Зω²-1+jω(ω²-3). Відокремлено прирівнявши дійсні та уявні частини, отримаємо 40/A=Зω^2-1, ω(ω²-3)=0. Розв’язавши два рівняння з двома невідомими, отримаємо параметри автоколивань и A₀= 5. Перевіримо умову стійкості

dq(A)/dA│_A=5=-4/А²│_A=5=-4/25< 0.

Вона виконується. Отже в системі спостерігаються автоколивання з амплітудою A₀ = 5 та частотою .

Приклад 2. Дослідити за методом Є.П. Попова автоколивання в нелінійній системі (рис. 12.1) з лінійною частиною, яка має передатну функцію

та ідеальною релейною характеристикою (рис.12.2) при с=1.

Коефіцієнт гармонічної лінеаризації ідеального реле q(А) =4с/(πА). Тоді

q(А)=4/(πА).А. В режимі автоколивань система знаходиться на межі стійкості. За критерієм Михайлова, межа коливальної стійкості відповідає проходженню годографа Михайлова через початок координат комплексної площини, тобто визначається рівнянням

.

Знайдемо характеристичний поліном замкнутої нелінійної системи після гармонічної лінеаризації. Передатна функція розімкнутої системи

.

Оскільки характеристичний поліном замкнутої системи з одиничним від’ємним оборотним зв’язком до позначення змінної співпадає з сумою чисельника та знаменника передатної функції розімкнутої системи, запишемо:

,

,

Підставивши λ=jω, отримаємо

.

Відокремлено прирівнявши дійсну та уявну частини нулю, отримаємо систему рівнянь для визначення параметрів автоколивань

Розв’язавши два рівняння з двома невідомими, отримаємо параметри автоколивань .Розглянемо . Підставивши у перше рівняння, отримаємо A₀ = 14,45. Перевіримо умову стійкості періодичного режиму за допомогою нерівності

.

Частинні похідні обчислюються для режиму автоколивань, тобто після їх взяття від дійсної і уявної частин за амплітудою і частотою замість А, ω треба підставити їх знайдені значення А₀, ω₀. В результаті отримаємо

,

умова стійкості виконується, отже, в системі спостерігаються автоколивання з амплітудою A₀ = 14,45 та частотою .

Дослідити автоколивання в нелінійній системі методом гармонічної лінеаризації. Непарні варіанти застосовують метод Гольдфарба, парні – метод Є.П. Попова, якщо задана схема (рис. 12.3). Варіанти завдань для домашньої роботи наведено в додатку Л.

Рисунок 12.3 – Схема нелінійної системи

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Попович М.Г. Теорія автоматичного керування: Підручник. – К.: Либідь, 1997. – 554 с.

2. Основы автоматизации управления производством / Под ред. И.М. Мака-рова. – М.: Высш. шк., 1983. – 504 с.

3. Єрьоменко І.Ф. Теорія автоматичного управління.: Навч. посібник,ч.1. –Харків: ХТУРЕ,1998. – 100 с.

4. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Наука, 1969. – 587 с.

5. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов. В 2-х ч. / Н.А. Баба-ков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др. // Под ред. А.А.Воронова. – М.: Высш. шк., 1986.

6. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. – М.: Высш. школа, 1988. – 348 с.

7. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. – М.: Наука, 1984. – 290 с.

8. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. – М.: Высш. школа, 1991. – 398 с.

9. Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. – М.: Наука, 1989. – 450 с.

10. Солодовников В.В., Матвеев П.С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. – М.: Высш. школа, 1990. – 460с.

11. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Математическая теория оптималь-ных процессов. – М.: Наука, 1979. – 370 с.

Додаток А

Варіанти завдань до практичних занять 1, 2

Таблиця А.1 – Варіанти завдань до практичних занять 1, 2

№	Математична модель системи	№	Математична модель системи
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26

Додаток Б

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНОГО ЗАНЯТТЯ 3

Таблиця Б.1 – Варіанти завдань до практичного заняття 3

№
1	1	1	10	0	0	1
2	10	1	1	1	0	0
3	100	10	0	0	0,1	2
4	1000	0	0,1	100	10	-1
5	10000	100	10	0,01	0,1	-2
6	0,1	0,01	1	10	0	0
7	0,01	100	1	1	1	1
8	0,001	0,1	10	0	0	2
9	0,0001	1	0	0,1	100	-1
10	1	0	100	10	0,01	-2
11	10	1	0,1	100	10	0
12	100	0	0,01	10	1	1
13	1000	100	1	10	0	2
14	10000	0,01	1	0	0,1	-1
15	0,1	0	1	100	10	-2
16	0,01	10	0	0,01	1	0
17	0,001	1	10	0,1	1	1
18	0,0001	0	0	100	10	2
19	1	0,1	100	10	0	-1
20	10	10	0,01	1	100	0
21	100	10	10	100	10	1
22	0,1	0	1	0,1	0	2
23	0,01	100	0	1	100	-1
24	1000	0,1	0,1	0	0,1	0
25	10	0,01	10	1	0,01	1
26	100	0,01	0,01	10	1	2

Додаток B

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНОГО ЗАНЯТТЯ 4

Таблиця В.1 – Варіанти структурних схем

№	Види схем
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

Додаток Г

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ 5, 6

Таблиця Г.1 – Варіанти завдань до практичних занятть 5, 6

№		№
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26

Додаток Д

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНОГО ЗАНЯТЯ 7

Таблиця Д.1 – Варіанти завдань до практичного заняття 7

Номер варіанта
1	3	1	1,5	-2,5
2	3	1	6	5
3	2	1	4	1
4	3	1	2,5	-2
5	3	1	5	3
6	3	1	3,5	-1,5
7	3	1	3	-1
8	3	1	8	12
9	3	1	4,5	-1
10	3	1	5,5	-0,5
11	4	1	6,5	-1
12	3	1	7,5	0,5
13	3	1	8,5	1
14	3	1	9,5	1,5
15	3	1	10,5	2
16	3	1	5	1
17	3	1	6	2
18	3	1	7	3
19	3	1	8	4
20	3	1	9	5
21	3	1	10	6
22	3	1	11	7
23	3	1	6	5
24	3	1	7	7
25	3	1	8	9
26	3	1	9	11

Додаток Е

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНОГО ЗАНЯТЯ 8

Таблиця Е.1 – Варіанти завдань до практичного заняття 8

№		, с	, %
1		0,1	30
2		0,4	20
3		0,2	30
4		0,3	25
5		0,5	30
6		0,25	20
7		0,35	30
8		0,1	30
9		0,5	30
10		0,15	25
11		0,2	25
12		0,5	25
13		0,3	25
14		0,25	20
15		0,1	20
16		0,3	20
17		0,6	30
18		0,2	20
19		0,1	30
20		0,5	30
21		0,25	25
22		0,15	25
23		0,4	30
24		0,4	20
25		0,2	30

Додаток Ж

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ 9, 10

Таблиця Ж.1 – Варіанти завдань до практичного заняття 9, 10

Номер варіанта
1	0,2	1	0,4	–0,17
2	0,3	1	0,5	–0,26
3	0,4	1	0,6	–0,35
4	0,5	1	0,7	–0,44
5	0,6	1	0,8	–0,53
6	0,7	1	0,9	–0,62
7	0,8	1	1	–0,71
8	0,9	1	0,5	–0,84
9	0,1	1	0,6	–0,02
10	0,2	1	0,7	–0,1
11	0,3	1	0,8	–0,18
12	0,4	1	0,9	–0,26
13	0,5	1	1	–0,34
14	0,6	1	1,1	–0,42
15	0,7	1	0,7	–0,58
16	0,8	1	0,8	–0,65
17	0,9	1	0,9	–0,72
18	0,1	1	1	0,11
19	0,2	1	1,1	0,04
20	0,3	1	1,2	–0,03
22	0,4	1	0,9	–0,2
23	0,5	1	1	–0,26
24	0,6	1	1,1	–0,32
25	0,7	1	1,2	–0,38
26	0,8	1	1,3	–0,44