11 Дослідження нелінійних систем методом

фазової площини

11.1 Мета заняття

Вивчення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок дослід-ження нелінійних систем методом фазової площини.

11.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти мають повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни, ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1–7], а саме: суть методу фазової площини, фазові траєкторії, види особливих точок для лінійних та нелінійних САК.

Метод фазової площини відноситься до аналітичних методів рішення нелінійних САК при конкретних початкових умовах і вхідних впливах.

Метод дозволяє аналізувати нелінійні системи другого порядку й полягає у поданні динаміки САК рухом зображуючої точки на фазовій площині.

Нехай САК описується нелінійним рівнянням:

. (11.1)

Змінні стану, які збігаються з вихідною змінною й швидкістю, називають фазовими змінними:

. (11.2)

Враховуючи (3.2), рівняння (3.1) можна замінити двома рівняннями:

. (11.3)

Перехідний процес у системі (11.3) розглядається на площині x₁ і x₂ (рис. 11.1), яку називають фазовою площиною.

Стан системи в кожний момент часу (або фаза руху), визначається парою чисел (х₁,х₂) і подається на фазовій площині зображуючою точкою М₀. При зміні стану системи зображуюча точка описує у фазовому просторі траєкторію. Ця траєкторія називається фазовою траєкторією, а безліч фазових траєкторій системи – її фазовим портретом.

Метод фазового простору заснований на побудові й вивченні фазового портрету, оскільки за ним можна судити про стійкість і всілякі рухи системи.

Рисунок 11.1 – Фазова площина

Диференційне рівняння фазових траєкторій одержимо, розділивши друге рівняння системи (11.3) на перше:

. (11.4)

Фазові траєкторії будуються за розв’язком (11.4), якщо його можна знайти, або безпосередньо за (11.4) за допомогою методу ізоклін.

Ізокліною називають геометричне місце точок однакового нахилу фазових траєкторій до горизонталі, тобто точок, у яких

, (11.5)

де тангенс кута нахилу фазової траєкторії до горизонталі.

З (11.5) і (11.4) отримуємо рівняння ізоклін

. (11.6)

Задаючись різними значеннями у межах, за (11.6) будується сімейство ізоклін на фазовій площині. На кожну ізокліну наносять серію коротких спрямованих відрізків під кутом до горизонталі (рис.11.2). Фазові траєкторії проводять так, щоб знайдені відрізки були дотичними до них.

Рисунок 11.2 – Фазові траєкторії

За фазовим портретом можна судити про характер перехідних процесів у системі, визначати коливальні режими, знаходити області стійкості, точки рівноваги, оцінювати перерегулювання й амплітуду коливань.

У точках рівноваги (x₁,x₂) зображуюча точка М₀ зупиняється. Рівняння точок рівноваги одержимо із системи (11.3):

, . (11.7)

Точки рівноваги (11.7) розташовуються на осі абсцис. Їх називають особливими точками, тому що в них нахил фазової траєкторії (11.6) не визначений. Точка рівноваги може бути стійкою, якщо всі фазові траєкторії в околиці особливої точки сходяться до неї, і нестійкою, якщо фазові траєкторії розходяться від неї.

Особливі точки є положеннями рівноваги, тому що вектор швидкості зображуючої точки в особливій точці дорівнює нулю.

Направлення руху зображуючої точки вздовж фазової траєкторії визнача-ють за наступним правилом.

У верхній напівплощині (х₂ > 0) координата х₁ зростає (тому що ) і зображуюча точка рухається зліва направо; у нижній напівплощині (х₂<0) зображуюча точка рухається справа наліво.

На осі абсцис (х₂=0) похідна dх₂/dх₁= усюди, за винятком точок рівноваги, і тому фазові траєкторії перетинають вісь абсцис (у неособливих точках) під прямим кутом.

Через кожну неособливу точку фазової площини для безперервних, усюди диференціювальних, однозначних нелінійностей проходить єдина фазова траєкторія, тобто фазові траєкторії в неособливих точках не перетинаються.

За фазовим портретом системи можна судити про її властивості. Зокрема, за фазовою траєкторією можна визначити відповідну криву перехідного процесу. Дійсно, відзначивши характерні точки, за заданою фазовою траєкторією (рис. 11.3,а) можна побудувати відповідну криву перехідного процесу (рис. 11.3,б), та навпаки, по кривій перехідного процесу (рис. 11.4,а) можна побудувати відповідну фазову траєкторію (рис. 11.4,б).

а) б)

а) – задана фазова траєкторія; б) – побудована перехідна характеристика Рисунок 11.3 – Схема побудови перехідної характеристики

за фазовою траєкторією

а) б)

а) – задана перехідна характеристика; б) – побудована фазова траєкторія Рисунок 11.4 – Схема побудови фазової траєкторії

за перехідною характеристикою

Час у явному вигляді не входить у зображення руху. Побічно він відображується так: кожному моменту часувідповідає фіксоване значення координаті, яке зображується в осях точкою. При змінізображуюча точка переміщується по фазовій площині, прорисовуючи фазову траєкторію.

Рівняння вільних рухів або рівняння у відхиленнях систем другого порядку завжди можна привести до виду

або ,. (11.8)

Розв’язок й фазовий портрет розглянутої системи залежать від коренів характеристичного рівняння .

З (11.8) випливає, що лінійна система має єдину особливу точку –початок координат.

Залежно від виду фазових траєкторій навколо особливих точок останні підрозділяються на різні типи: центр, стійкий фокус, нестійкий фокус, стійкий вузол, нестійкий вузол, сідло.

Нелінійні системи характеризуються більшою різноманітністю фазових портретів. Вони можуть мати кілька особливих точок (положень рівноваги).

За наявності декількох точок рівноваги можливі різні типи фазових траєкторій: сепаратриси, стійкий граничний цикл, нестійкий граничний цикл, два граничних цикли.

11.3 Контрольні запитання та завдання

1. Для чого розроблений метод фазової площини?

2. Що таке фазова траєкторія та фазова площина?

3. Дайте характеристику методу ізоклін.

4. Чому особливі точки є положеннями рівноваги?

5. Як визначають направлення руху зображуючої точки вздовж фазової траєкторії?

6. Які є типи особливих точок в лінійних САК?

7. Які є типи особливих точок в нелінійних САК?

11.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Розглянемо систему з нелінійним елементом, що має релейну характеристику із зоною нечутливості (рис. 11.5).

Рисунок 11.5 – Структурна схема нелінійної системи

Рисунок 11.6 – Фазовий портрет нелінійної системи (приклад 1)

Наведемо рівняння для кожного елемента системи:

, ,

Введемо нові змінні: ,. У нових змінних рівняння системи приймають вигляд:

; ;

;

;

.

Отримаємо рівняння для фазових траєкторій. Для цього розділивши друге рівняння на перше й проінтегрувавши його, одержимо:

;

;

;

Розіб'ємо фазову площину на три області I, II, III прямими x₁= і x₁= -. (рис. 11.6).

В області I (x₁- ) рівняння фазових траєкторійx₂²=2x₁+C₁ визначає сімейство парабол.

В області II (x₁.,) u=0 рівняння фазових траєкторій x₂² =C₂ визначає сімейство прямих, паралельних осі абсцис.

В області III (x₁ ), рівняння фазових траєкторій x₂²=-2x₁+C₃ визначає також сімейство парабол, але повернених на 180°.

Лінії АА' і ВВ' (рис. 11.6), на яких сполучаються різні ділянки фазових траєкторій (тобто ділянки траєкторій, які описуються різними рівняннями), є лініями перемикання.

Приклад 3. За допомогою прикладної програми SYAN побудувати фазовий портрет нелінійної системи з люфтом, якщо передатна функція неперервної частини системи Wнч(s) = 10/(s(10s + 1)), а половина люфту 0,1. Проаналізувати отримані результати.

За допомогою програми SYAN проводимо моделювання системи та будуємо фазовий портрет (рис. 11.7), проаналізувавши який приходимо до висновку, що система є нестійкою.

Рисунок 11.7– Фазовий портрет нелінійної системи (приклад 3)

Дослідити стійкість системи методом фазової площини, якщо задана схема нелінійної системи (рис.11.8). Варіанти завдань для домашньої роботи наведено в додатку Л.

Рисунок 11.9 – Схема нелінійної системи