10 Дослідження стійкості імпульсних сак за алгебраїчними та частотними критеріями стійкості

10.1 Мета заняття

Закріплення і поглиблення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визначення стійкості САК, знаходження області стійкості, граничних значень стійкості.

10.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни. Ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1–7], а саме: стійкість імпульсних САК, алгебраїчні та частотні критерії стійкості.

Стійкість лінійної імпульсної САК залежить від її характеристичного рівняння:

. (10.1)

Щоб відрізнити наведене характеристичне рівняння від характеристичного рівняння неперервної системи невідома змінна позначається тією же буквою, що й змінна Z-перетворення, хоча вона має інший зміст.

Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним поліномом. Характеристичний поліном розімкненої імпульсної САК з передатною функцією збігається з її власним оператором і знаменником її передатної функції.

Характеристичний поліном замкнутої системи (при одиничному від’єм-ному зворотному зв’язку) дорівнює сумі поліномів чисельника й знаменника передатної функції розімкнутої системи:

. (10.2)

Необхідна і достатня умова стійкості: для того, щоб лінійна імпульсна САК була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі корені її характеристичного рівняння були за модулем менше 1: , i=1,…,q або, щоб вони перебували усередині одиничного кола на комплексній площині коренів (рис. 10.1).

Рисунок 10.1 – Комплексна площина z-коренів

Критерії стійкості імпульсних САК повинні визначати чи перебувають всі корені характеристичного рівняння усередині одиничного кола, не обчислюючи їх.

Для того, щоб можна було оцінити стійкість імпульсних систем за допомогою критеріїв стійкості, які розроблені для неперервних систем, необхідно застосувати v-перетворення:

. (10.3)

При v-перетворенні коло одиничного радіуса на площині z переходить в уявну вісь на v-площині, а внутрішність одиничного кола на z-площині – у ліву напівплощину на v-площині.

Підставимо в характеристичне рівняння імпульсної системи та після перетворень отримаємо рівняння:

, (10.4)

де визначаються через коефіцієнти.

За властивістю v-перетворення, для того щоб імпульсна САК була стійкою, тобто всі корені характеристичного рівняння (10.1) перебували усередині одиничного кола, необхідно і достатньо, щоб всі корені рівняння (10.4) мали від’ємні дійсні частини, тобто були лівими.

Тому, якщо скористатися рівнянням (10.4), то для дослідження стійкості імпульсних САК можна використати всі відомі алгебраїчні критерії стійкості.

Критерій Гурвіца: для того, щоб імпульсна система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца, складені з коефіцієнтів отриманого характеристичного рівняння (10.4), були більше 0 при а₀ більше 0.

Критерій Льєнара-Шипара: для того, щоб система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца, з парними або непарними індексами складені з коефіцієнтів отриманого характеристичного рівняння (10.4) були більше 0 при а₀ більше 0.

Для того, щоб оцінити стійкість імпульсної САК за допомогою частотних критеріїв, які розроблені для неперервних САК, у дискретну передатну функцію розімкнутої імпульсної системи зробимо підстановку (10.3):

.

Підставивши у (10.4) одержимо псевдочастотну дискретну передатну функцію:

, (10.5)

–псевдочастота.

Змінна є аналогом частоти, але не має фізичного змісту частоти. Точно так само функція є аналогом частотної передатної функції, але ніякого фізичного змісту не виражає.

Характеристики, побудовані за називають псевдочастотними характеристиками.

Під час дослідження стійкості імпульсної САК за допомогою критерію стійкості Михайлова необхідно:

а) скласти характеристичне рівняння імпульсної САК за відомою передатною функцією;

б) застосувати перетворення (10.3) та отримати характеристичне рівняння у V-змінних;

в) в отримане характеристичне рівняння зробити підстановку та поділити функцію на дійсну та уявну частини;

г) побудувати криву Михайлова та за критерієм стійкості Михайлова зробити висновок про стійкість системи.

Псевдочастотний критерій стійкості Михайлова: для того, щоб імпульсна система автоматичного керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб крива Михайлова при зміні частоти від 0 до, починалась на дійсній додатній півосі, обходила проти годинникової стрілки послідовноквадрантів координатної площини, де– порядок характеристичного рівняння, не попадаючи на початок координат.

Псевдочастотний критерій Найквіста: для того, щоб замкнута імпульсна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдочастотна амплітудно-фазова характеристика її розімкнутої системи зі зростанням від 0 доохоплювала точку в додатному напрямку (проти руху годинникової стріл-ки) раз, де– це кількість коренів характеристичного рівняння розімкнутої імпульсної системи у V-змінних, які знаходяться в правій напівплощіни.

Під час дослідження стійкості замкнутої імпульсної САК за допомогою критерію стійкості Найквіста необхідно:

а) скласти характеристичне рівняння розімкненої імпульсної САК за відомою передатною функцією;

б) застосувати перетворення (10.3) та отримати характеристичне рівняння у V-змінних;

в) знайти корені характеристичного рівняння та розрахувати ;

г) у дискретну передатну функцію розімкненої імпульсної системи зробити підстановку (10.3) та отримати ;

д) в отриману функцію підставити та розрахувати псевдочастотну дискретну передатну функцію;

е) побудувати псевдочастотну амплітудно-фазову характеристику розім- кнутої імпульсної системи та за критерієм стійкості Найквіста зробити висновок про стійкість замкненої системи.

10.3 Контрольні запитання та завдання

1. Від чого залежить стійкість лінійної імпульсної САК?

2. Як визначити характеристичний поліном розімкненої імпульсної САК за передатною функцією розімкненої системи?

3. Як визначити характеристичний поліном замкненої імпульсної САК за передатною функцією розімкненої системи?

4. Якою є необхідною й достатньою умова стійкості імпульсної САК?

5. Для чого застосовують v-перетворення?

6. Охарактеризуйте критерій Гурвіца для дослідження стійкості імпульс-них систем.

7. Охарактеризуйте критерій Льєнара-Шипара для дослідження стійкості імпульсних систем.

8. Охарактеризуйте критерій Михайлова для дослідження стійкості імпу-льсних систем.

9. Викладіть методику використання критерію Михайлова.

10. Охарактеризуйте критерій Найквіста для дослідження стійкості імпу-льсних систем.

10.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Задано дискретну передатну функцію розімкненої імпульсної САК Оцінити стійкість імпульсної системи.

Характеристичне рівняння розімкненої системи дорівнює

.

Ступінь характеристичного рівняння не перевищує 2, таким чином для визначення стійкості системи можемо використати необхідну та достатню умову стійкості (щоб всі корені її характеристичного рівняння були за модулем менше 1: , i=1,…,q, або щоб вони перебували всередині одиничного кола на комплексній площині коренів). Знайдемо корені характеристичного рівняння:

.

Корені характеристичного рівняння за модулем менш ніж 1, тому можна зробити висновок, що система стійка.

Приклад 2. Задано характеристичне рівняння імпульсної САК

.

Оцінити стійкість імпульсної системи за критерієм Гурвіца.

Для того, щоб скористатися алгебраїчним критерієм Гурвіца для оцінки стійкості імпульсної системи, в задане характеристичне рівняння зробимо підстановку (10.3). Таким чином, характеристичне рівняння у V-змінних дорівнює:

.

Складемо визначники Гурвіца:

,

,

За критерієм Гурвіца досліджувана імпульсна система стійка, оскільки визначники Гурвіца складені з коефіцієнтів характеристичного рівняння більше нуля при .

Приклад 3. Задано передатну функцію розімкненої імпульсної САК . Оцінити стійкість замкненої імпульсної системи з одиничним від’ємним зворотним зв’язком за критерієм Михайлова.

Складемо характеристичний поліном замкненої імпульсної САК за відо-мою передатною функцією розімкненої системи (10.2):

.

Застосуємо перетворення (10.3) та отримаємо характеристичний поліном у V-змінних:

.

В отриманий характеристичний поліном зробимо підстановку та для побудови кривої Михайлова поділити поліном на дійсну та уявну частини:

,

,

,

Криву Михайлова наведено на рис. 10.2. За видом кривої можна зробити висновок, що досліджувана замкнена імпульсна система стійка.

Рисунок 10.2 – Крива Михайлова для прикладу 3

Приклад 4. Задано передатну функцію розімкненої імпульсної САК Оцінити стійкість замкненої імпульсної системи з одиничним від’ємним зворотним зв’язком за критерієм Найквіста.

Складемо характеристичне рівняння розімкненої імпульсної САК за заданою передатною функцією:

.

Застосуємо перетворення (10.3) та отримаємо характеристичне рівняння у V-змінних:

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння та визначимо скільки коренів характеристичного рівняння знаходяться у правій напів-площині.

У дискретну передатну функцію розімкненої імпульсної системи зробимо підстановку (10.3) та отримаємо:

.

В отриману функцію підставимо та розрахуємо псевдочастотну дискретну передатну функцію:

.

Побудуємо псевдочастотну амплітудно-фазову характеристику розім- кнутої імпульсної системи. Для цього виділимо дійсну та уявну частини у псевдочастотній дискретній передатній функції .

,

,

.

Для побудови псевдочастотної амплітудно-фазової характеристики розрахуємо значення дійсної та уявної псевдочастотних функцій при зміні частоти від 0 до  (табл. 10.2).

Таблиця 10.2 – Дані для побудови АФЧХ

	0	2	10	100	 >0	+
	0,6	0,5	0,05	0,005	 0	 0
	0	-0,3	-1,8	-1,9	 0	 0

АФЧХ розімкненої імпульсної системи (рис. 10.3) не охоплює точку Отже замкнута імпульсна система за критерієм Найквіста стійка.

Рисунок 10.3 – АФЧХ розімкненої імпульсної системи для прикладу 4

Визначити за заданою дискретною передатною функцією розімкненої імпульсної системи (табл. Ж.1) стійкість замкненої імпульсної системи з одиничним зворотним від’ємним зв’язком за критеріями Гурвіца, Михайлова та Найквіста.

, .

Варіанти завдань для домашньої роботи наведені в додатку Ж.