9 Визначення передатних функцій та побудова перехідних

і частотних характеристик імпульсних САк

9.1 Мета заняття

Закріплення і поглиблення теоретичного матеріалу, набуття практичних навичок визначення імпульсних передатних функцій за допомогою Z-пере- творення та побудови перехідних функцій імпульсних САК.

9.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал з дисципліни. Ознайомитися з матеріалами, що наведені у літературі [1–7], а саме: поняття імпульсного елемента, імпульсної системи, різницеві рівняння, Z-перетворення, решіткові функції.

Визначення імпульсної системи пов'язане з поняттям імпульсу й імпуль-сних сигналів, тому стисло охарактеризуємо ці поняття.

Імпульсом тривалості – називається процес, що описується функцією, усюди рівної нулю за винятком деякого інтервалу заданої тривалості .

Параметри імпульсу: тривалість , амплітуда, період, частотапроходження імпульсів, положення імпульсів щодо фіксованих моментів часу (тактових точок), а також відносна тривалість.

Послідовність імпульсів називається модульованою, якщо один з її параметрів змінюється відповідно до заданого сигналу:

Імпульсний елемент (імпульсний модулятор) – елемент, що перетворює безперервний сигнал в імпульсний.

Імпульсна система – це система, що містить імпульсний елемент.

На вихідний сигнал імпульсного елемента впливають значення вхідного сигналу тільки в дискретні моменти часу, що відповідають моментам знімання сигналу. Тому замість безперервного сигналу можна розглядати таку решіткову функцію:

(9.1)

Кожній безперервній функції відповідає тільки одна решіткова функція (рис. 9.1).

Поряд з розглядають також зміщену решіткову функцію:

(9.2)

та узагальнену решіткову функцію:

. (9.3)

Процеси в імпульсних САУ описуються різницевими рівняннями.

Лінійними різницевими рівняннями порядку називають рівняння виду:

(9.4)

де

t

Рисунок 9.1 – Решіткова функція

Звичайно приймають і різницеве рівняння подають у вигляді:

_. (9.5)

Під час розв’язання різницевих рівнянь таку ж роль, що й перетворення Лапласа під час розв’язання звичайних диференціальних рівнянь, відіграє Z-перетворення.

Співвідношення

(9.6)

що ставить функції у відповідність функціюкомплексного змінного z, називається Z-перетворенням Лорана.

При цьому функція називається оригіналом, азображенням абоZ-зображенням.

Передатна функція приведеної неперервної частини обчислюється як:

, (9.7)

де – передатна функція приведеної неперервної частини;

–передатна функція формуючої ланки;

–передатна функція неперервної частини.

Для розрахунку дискретної передатної функції імпульсної системи за відомою передатною функцією приведеної неперервної частини викорис-товують, для того, щоб розрахувати оператор :

. (9.8)

Операторкожній функціїставить у відповідність функцію, тобто. Операторє лінійним і відповідає трьом послідовним операціям:

а) зворотне перетворення Лапласа ;

б) квантування за часом з періодом :;

в) Z - перетворення .

Якщо передатна функція приведеної неперервної частини дорівнює , де– поліноми m-й і n-й ступеня (m<n), а полюси,функції прості (некратні), то

, (9.9)

де .

До часових характеристик імпульсних САУ відносяться перехідна та імпульсна перехідна функція.

Перехідна функція імпульсної САУ – це функція, яка описує реакцію імпульсної системи на одиничний східчастий впливза нульових початкових умов.

Знайдемо зображення перехідної характеристики для структурної схеми для замкнутої імпульсної системи

. (9.10)

Оскільки , то зображення перехідної функції дорівнює:

. (9.11)

Якщо відоме зображення перехідної функції, то оригінал перехідної функції можна визначити двома способами.

При першому способі використовується Z-перетворення:

. (9.12)

Другий спосіб визначення перехідної функції.

Нехай , при чому.

Знайдемо полюси функції . Якщо полюси() кратні та мають кратність, то

. (9.13)

Якщо полюси () функціїпрості, то

, (9.14)

де .

Перехідна характеристика імпульсної САУ будується у такий спосіб: за перехідною характеристикою спочатку на координатній площині відмічають точки, які відповідають точкам перехідної характеристики в дискретні моменти часу, а потім ці точки з'єднують плавною кривою. Функціяє решітковою функцією, вона визначена тільки в дискретні моменти часу, тобто вона приймає значення сигналу в моменти знімання сигналу.

9.3 Контрольні запитання та завдання

1. Дати визначення імпульсного елемента.

2. Дати визначення імпульсної САК.

3. Що таке решіткова функція?

4. Що таке зміщена решіткова функція?

5. Як визначається узагальнена решіткова функція?

6. Якими рівняннями описуються процеси в імпульсних САК?

7. Що таке Z-перетворення?

8. Як визначається Z-перетворення від зміщеної решіткової функції?

9. Як визначити дискретну передатну функцію імпульсної САК?

10. Для чого використовують оператор ?

9.4 Приклади аудиторних і домашніх задач

Приклад 1. Задано передатну функцію приведеної неперервної частини розімкнутої системи:.

Визначити дискретну передатну функцію розімкнутої системи, якщо період квантування дорівнює .

Дискретну передатну функцію розімкнутої системи розраховують за допомогою оператора (9.8) та таблиці перетворень у додаткуН.

.

Приклад 2. Задано передатну функцію приведеної неперервної частини розімкнутої системи

Визначити дискретну передатну функцію розімкнутої системи, якщо період квантування дорівнює , за допомогою виразу (9.9). Введемо позначення:

Для того, щоб можна було скористатися запропонованою формулою знайдемо полюси системи :, полюси прості, тобто можна використовувати формулу (9.9).

.

Приклад 3. Задано структурну схему імпульсної САК (рис. 9.2). Розрахувати передатні функції за входом і виходом, та за входомі виходом

Між формулами для обчислення передатної функції замкнутої імпульсної САК і неперервної САК існує певна аналогія. Зокрема, при обчисленні передатної функції імпульсної САК з одиничним негативним зворотним зв'язком справедливо правило: передатна функція системи дорівнює передатній функції прямого ланцюга, діленої на одиницю плюс (при одиничному від’ємному зворотному зв’язку) передатна функція розімкнутої системи.

Рисунок 9.2 – Схема для прикладу 3

,

де _.

Приклад 4. Задано дискретну передатну функцію замкненої системи , період квантування імпульсів . Визначити перехідну функцію імпульсної САК.

Згідно з формулою зображення перехідної характеристики дорівнює:

.

Полюсами функції є значеннята. Другий полюс є кратним та має кратність.

Розглянемо простий полюс . Цьому полюсу відповідає доданок, що визначається за формулою (9.14):

.

Кратному полюсу (кратність к=2) відповідає доданок, що визначається за формулою (9.13):

Звідси

Тому .

Визначити за заданою дискретною передатною функцією розімкненої імпульсної системи (табл. Ж.1) перехідну функцію замкнутої імпульсної САК.

,

Варіанти завдань для домашньої роботи наведено в додатку Ж.

Графік перехідної характеристики імпульсної системи наведено на рисунку 9.3.

Рисунок 9.3 – Графік перехідної характеристики імпульсної системи