Добавил:

inf Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный социальный университет

Предмет:

Методология, методика и техника социологического исследования

Файл:

Воронов Ю.П., Ершова Н.П. Общие принципы социологического измерения.doc

Скачиваний:

Добавлен:

21.01.2014

Размер:

4.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Объединение подмножества множества α

После исключения из α пустых подмножеств и перенумерации получим . После исключения из rq градаций, соответствующих пустым подмножествам α, и перенумерации получими.

Пусть пройдено S шагов объединения и делается S + 1 шаг. На шаге S вычислена матрица вида

Рис.3.

Здесь – разностное информационное отношение для подмножествииз, где α_s= d₁ – S.

1. В Q⁽^s⁾, исключая диагональные элементы, находится минимальный элемент и соответствующие ему подмножества объединяются. После перенумерации получаем .

2. Вычисляется величина , гдеинформация признакао признакеX_z

на шаге S + 1, а – их совместная энтропия.

3. Если R(s) < R(s+1) то для множества α(s+1) вычисляется матрица Q⁽^s⁺¹⁾ и делается шаг S+2, иначе объединение должно быть прекращено на шаге S.

Выведем некоторые свойства, необходимые для алгоритма объединения. Обозначим минимальный элемент Q⁽^s⁾, найденный по пункту 1, как . Понадобятся следующие равенства:

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь — потеря информации;— потеря энтропии;— потеря совместной энтропии;и— признаки при объединении наиболее одинаковых поэлементов из α. Введем обозначение

4. Если , то;

Если ,;

Если ,

Докажем только первое утверждение.

Из (1) и (3) следует, что равносильноили

Используя (4) и равенство , получим

5. Если и, то, т.е.

Если покажем, что то утверждение будет доказано. Используя (1) и (2), получим

После несложного преобразования это неравенство переходит в первое условие.

6. Если и, то, т.е.

Доказывается аналогично свойству 5.

7. Если на первом шаге объединения и на каждом шаге объединения выполняется неравенство, то

100

; ;;;;;;.

Очевидно, что и. Найдем.,и следовательно.

Напишем матрицу вида

Из Q⁽¹⁾ видно, что подмножества объектов инаиболее близки друг к другу по Х_z, так как элемент матрицыQ⁽¹⁾ минимален среди недиагональных элементов.

Объединим подмножества и. Получим признакс множеством градаций. Здесь– градация, полученная в результате объединенияи. Нетрудно получить:;;;;;;;;;;;

101

Составим матрицу

Так как элемент матрицыQ⁽²⁾ минимален среди недиагональных элементов, то объединим подмножества объектов α⁽⁴⁾ и α⁽³⁾. Получим признак с множеством градаций. Не трудно подсчитать, что;;;;;;;;.

Если объединить последние две градации в Х⁽³⁾, то получим признак с одной градацией. В этом случае;и

График как функцииS представлен на рис. 4 и имеет тот же вид, что и на рис. 3. Это понятно, так как .

102

Очевидно, что при S = 3 следует прекратить объединение подмножеств объектов. Выпишем для иллюстрации распределения условных вероятностей до и после объединения.

До объединения:

; ;;;;;;;

После объединения:

; ; ;.

Дополним список свойств разностного информационного отношения.

1. Если множество объектов α_i одинаково по X_z с множествами α_j и α_k, то множества объектов α_j и α_k одинаковы по X_z.

Если Q_ij(X_q,X_z) = Q_ik(X_q,X_z) = 0, то Q_jk(X_q,X_z) = 0.

На основании свойства 4 пишем, что

; l = 1,2,…,t_z;

, откуда , т.е.. В частности, отсюда следует, что если, α_i – непустое множество и строка (столбец) i в матрице Q⁽^s⁾ нулевая, то матрица Q⁽^s⁾ будет нулевой матрицей.

Следующее ниже свойство 2 означает, что если в М есть признак, не зависящий от множества признаков , то при объединении конечных групп в классы он будет игнорироваться.