Измерение изменений с учетом структуры множества
Ниже
предлагается метод, учитывающий
изменения, происходящие за период от
до 
с отдельными подмножествами объектов
, состоящими
из объектов, попавших в градацию x
по
признаку X
в момент 
.
Таким образом, в момент 
любая
группа объектов 
будет
максимально однородной по признаку X
по определению самой группы. Однако
этого нельзя сказать для момента 
,
так как объекты 
в
момент 
могут принадлежать 
(m
i) в момент
,
т.е. в момент
группа 
,
будучи раньше максимально однородной,
перестает быть таковой.
Используя
(I2), вычислим изменение, происшедшее с
выделенным нами подмножеством объектов
за
период времени от 
82
до
.
Очевидно, что в момент 
для множества
объектов 
было
действительно следующее распределение
вероятностей p(x
):
p(x
)
=
Тогда из (I2) получим
(X
)
=
+
p(x
)
log
+ p(x
)
(I3)
p(x
)
log
p(x
)
;
(
)
= 1
(X
).
Так
как при получении (I2) за исходное множество
принималось 
и
вычислялось изменение, происшедшее
только с ним, то под 
следует
понимать долю объектов 
от
общего множества объектов 
,
которые в момент 
попадали в градацию x
по признаку
X
.
Если
p(x
)
= 0 , то
(
)
= 1, т.е.
изменение, происшедшее с 
,
максимально.
Если
p(x
)
= 1 , то
(
)
= 0, т.е.
изменение, произошедшее с 
,
минимально.
Для
оценки изменений, происшедших со всем
комплексом подмножеств 
i =
за период 
,
удобно использовать меру
(X
).
(X
)
=
p(x
)
(
),
(I4)
где
определяется по формуле (I3).
I.
Если каждое множество объектов 
в
момент 
одинаково с множеством объектов 
в
момент 
по признаку X
,
то
(X
)
= 0. Ранее
показано, что в этом случае все
(
)
= 0. Тогда из
(I3) следует, что
(X
)
= 0.
83
2.
Если
(X
)
= 0, то каждое
множество объектов
в момент
одинаково с множеством объектов 
в
момент времени
по признаку
X
.
Ранее
показано, что
(
)
0. Поэтому
из равенства нулю
(X
)
и (I4) следует, что
(
)
= 0, т.е.
множество объектов
в момент
одинаково с
в момент 
по признаку
X
.
3.
Если каждое множество объектов 
в момент 
максимально
отличается от 
в момент 
по признаку
X
,
то
(X
)
= 1.
Это следует
из
p(x
)
= 1и доказанного
ранее, когда выполняются исходные
условия настоящего пункта.
4.
Если
(X
)
= 1,
то каждое
множество объектов 
в момент 
максимально отличается от множества
объектов 
в момент 
по признаку
X
.
При доказательстве понадобятся выражения
p(x
)
= 1 и
0
(
)
1, i =
.
Допустим,
что все
(
)
в выражении (I4) меньше единицы. Выберем
среди них максимальное и обозначим его
Q
.
Тогда можно записать, что Q
<
1 и
p(x
)
(
)
Q
p(x
)
< 1, что
противоречит исходному условию.
Следовательно,
среди
(
)
должно быть хотя бы одно
(
)
= 1. Тогда,
используя исходное условие, запишем
1
p(
)
(
)
=
p(x
)
(
)
84
или
p(
)
=
p(x
)
(
)
Из равенства
p(x
)
(
)
= 0
следует, что
(
)
= 1, i= 1, t
, i
,
что и требовалось доказать.
5.
0
(X
)
1.
И левая и
правая стороны неравенства доказываются
элементарно.
85
Литература
I. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963.
2. Rajski C. Fransactions of the third Prague conference. Information theory statistical decision functions random processes. 1962, p.583.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.I, М., 1962.
86