Аналіз і розв’язання

Струм і напруга в колі змінюється за законом

,, (3.7)

де – зсув фаз між струмом і напругою.

Амплітуду напруги знайдемо зі співвідношенням

,. (3.8)

Амплітуди струму і напруги пов’язані законом Ома:

, (3.9)

де – повний опір кола змінного струму,,– індуктивний і ємнісний опори кола, відповідно.

Зі співвідношень (3.8), (3.9) знайдемо:

.

Розрахунки дають:

(В), (А),.

Зсув фаз між коливаннями сили струму і зовнішньою напругою визначимо так:

; .

Рівняння (3.7) з урахуванням розрахунків:

;

.

Падіння напруги на елементах контуру дорівнює

; ;,

де – діюче значення сили струму.

Тоді

(В); (В);(В).

Умова резонансу . З співвідношенняотримаємо резонансну частоту:

(Гц).

Потужність, що споживається контуром:

(Вт).

Задача 4. Розрахувати енергію, яку перенесе за час 1 хв плоска синусоїдальна електромагнітна хвиля, що розповсюджується у вакуумі, через площину10 см² , розташовану перпендикулярно напрямку поширення хвилі. Амплітуда напруженості електричної хвилі 1,0 мВ/м. Період хвилі.

Дані: 1 хв,10 см², 1,0 мВ/м ,.

–?

Аналіз і розв’язання

Енергія, яку перенесе електромагнітна хвиля за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярної напрямку розповсюдження хвилі, визначається вектором Пойнтинга . Беручи до уваги, що, а в електромагнітній хвилі, отримаємо для модуля вектора

. (3.10)

Величини тазмінюються за гармонічним законом і мають однакову фазу, тоді з (3.10):

, (3.11)

тобто залежить від часу. Тоді векторможна зв’язати з модулем густини потоку енергії:

.

Звідки енергія, яка переноситься хвилею через площу за час, з урахуванням (3.11)

. (3.12)

Амплітудні значення векторів іпов’язані між собою виразом:

. (3.13)

Якщо , то з (3.13) одержимо:

.

Тоді рівняння (3.12) має вигляд:

.

Повна енергія, яка переноситься хвилею за час

. (3.14)

Частота невідома за умовою задачі, тому скористаємося умовоюдля оцінки значення. Беручи до уваги, що, маємо:

.

Внаслідок умови членому формулі (3.14) можна знехтувати. Тоді одержимо

,

(Дж).

3.5 Задачі для самостійної роботи

Задача 1. Котушка з індуктивністю = 3·10^-5 Гн з’єднана послідовно з плоским конденсатором, площа пластин якого =100 см² , відстань між ними = 0,1 мм. Чому дорівнює діелектрична проникність середовища між пластинами, якщо контур резонує на довжину хвилі 750 м?

Відповідь: .

Задача 2. Період коливань контуру, який складається з котушки і конденсатора, що з’єднані паралельно, дорівнює 33,2нс. Повітряний конденсатор являє собою дві круглі пластини діаметром20 см, які знаходяться на відстані1 см. Визначити індуктивність котушки.

Відповідь: =1 мкГн.

Задача 3. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю =1 мГн і конденсатора змінної ємності. Діапазон довжин електромагнітних хвиль, які можуть викликати резонанс в цьому контурі, складає від=200 м до=600 м. Визначити, в яких межах змінюється ємність конденсатора. Активним опором контуру знехтувати.

Відповідь: від =11,3 пФ до=101,4 пФ.

Задача 4. Знайти період коливань контуру, який складається з котушки довжиною см, площею поперечного перерізу=2 см² і кількістю витків 1000 та конденсатора з двома пластинами площею=50 см² кожна, розташованими на відстані =2 мм одна від одної. Простір між пластинами конденсатора заповнений парафіном ().

Відповідь: 0,93 мкс.

Задача 5. Коливальний контур складається з ємності =0,25 мкФ і індуктивності=1,015 Гн. Омічний опір відсутній. Конденсатор заряджений зарядом= 2,5·10^-6 Кл. Написати для цього коливального контуру рівняння, яке описує залежність напруги на конденсаторі і сили струму в колі від часу. Знайти напругу на конденсаторі і силу струму в колі в моменти часу ,,(– період коливань).

Відповідь: 1)В, мА, 2) =70,7B,мА;=0,мА;B,.

Задача 6. Рівняння, яке визначає залежність напруги на конденсаторі від часу в коливальному контурі, має вигляд В, ємність конденсатора10^-7 Ф. Визначити 1) період коливань; 2) індуктивність контуру; 3) закон зміни сили струму в контурі від часу; 4) довжину хвилі, яка відповідає цьому контуру.

Відповідь: 1)2·10^-4c; 2)10,15 мГн; 3)мА; 4)6∙10⁴м.

Задача 7. Сила струму в коливальному контурі, що складається з котушки індуктивністю 0,1 Гн та конденсатора, змінюється з часом згідно з виразомА. Визначити 1) період коливань; 2) ємність конденсатора; 3) максимальну напругу на обкладинках конденсатора; 4) максимальну енергію магнітного та електричного полів.

Відповідь: 1)10мc; 2)0,25∙10^-4 Ф; 3) 6,29 В; 4)=0,5 мДж;=0,5 мДж;.

Задача 8. У коливальному контурі спостерігаються вільні незгасаючі коливання з енергією 0,5 мДж. Частота власних коливань у контурі збільшилась у 2,5 рази при повільному розсуванні пластин конденсатора. Знайти роботу, здійснену проти сил електростатичного поля.

Відповідь: 2,63 мДж.

Задача 9. Коливальний контур має конденсатор ємністю 2 мкФ і котушку індуктивності0,1 мГн із загальною кількістю витків 500. Максимальна напруга на обкладках конденсатора дорівнює 300 В. Визначте максимальний магнітний потік, що пронизує котушку.

Відповідь: 8,5 мкВб.

Задача 10. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 7 мкФ, індуктивності0,23 Гн і опору40 Ом. Конденсатор заряджений зарядом5,6·10^-4 Кл. Знайти період коливань контуру, логарифмічний декремент загасання. Написати рівняння залежності зміни напруги на конденсаторі від часу. Знайти напругу на конденсаторі в моменти часу ,,і(– період коливань).

Відповідь: 1) 8·10^-3c; 2) = 0,7; 3)B; 4)В;= 40 B;B;B.

Задача 11. Котушка коливального контуру має індуктивність 1 Гн. Який активний опір має контур, якщо амплітуда вільних коливань у ньому за 0,05 с зменшується в 2,7 рази?

Відповідь: 40 Ом.

Задача 12. Індуктивність котушки коливального контуру 5 мГн, ємність конденсатора0,05 мкФ, опір10 Ом. Визначити кількість повних коливань, через яку амплітуда струму зменшиться вразів.

Відповідь: 10.

Задача 13. Визначити, через скільки повних коливань енергія коливального контуру зменшилась у 16 разів, якщо логарифмічний декремент загасання .

Відповідь: 10.

Задача 14. Добротність коливального контуру дорівнює 30, частота загасаючих коливань 600 кГц. Визначити час, за який амплітуда сили струму в цьому контурі зменшилась у 10 разів.

Відповідь: 37 мс.

Задача 15. Індуктивність котушки коливального контуру 6 мГн, а ємність конденсатора0,3 мкФ. Знайти логарифмічний декремент загасання і опір контуру, якщо за час1 мс різниця потенціалів на обкладинках конденсатора зменшилася у 4 рази.

Відповідь: ;16,6 Ом.

Задача 16. Коливальний контр має параметри: 40 мкГн і8 Ом. Визначити час, протягом якого амплітуда вільних коливань зменшиться в разів.

Відповідь: мкс.

Задача 17. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 0,2 мкФ і котушки індуктивністю 5,07 мГн. При яких значеннях логарифмічного декремента загасання і опору різниця потенціалів на обкладках конденсатора за 0,001с зменшується втричі?

Відповідь: ;11 Ом.

Задача 18. Індуктивність 2,26·10^-2 Гн та активний опір увімкнуті паралельно в коло змінного струму частотою 50 Гц. Знайти величину опору, якщо відомо, що зсув фаз між напругою і струмом дорівнює 60º.

Відповідь: 12,3 Ом.

Задача 19. Активний опір коливального контуру 0,33 Ом. Яку потужність треба надавати контуру, щоб в ньому існували незгасаючі коливання з амплітудою сили струму30 мА?

Відповідь:  мВт.

Задача 20. Параметри коливального контуру 10 пФ,6,0 мкГн,0,50 Ом. Яку потужність треба надавати контуру, щоб в ньому існували незгасаючі коливання з амплітудою напруги на конденсаторі10 В?

Відповідь:4,2 мВт.

Задача 21. Коливальний контр складається з конденсатора ємністю 4 мкФ і котушки індуктивністю 2 мГн та активним опором 10 Ом. Визначити відношення енергії магнітного поля котушки до енергії електричного поля конденсатора в момент часу, що відповідає максимуму сили струму в контурі.

Відповідь: .

Задача 22. Коливальний контур радіоприймача настроєний на довжину хвилі 1,5 м. У скільки разів потрібно змінити ємність конденсатора контуру, щоб настроїтися на частоту 100 МГц.

Відповідь: збільшити в 4 рази.

Задача 23. Визначити модуль напруженості електричного поля плоскої хвилі через модуль вектора Умова-Пойтингаі діелектричну проникність середовища. Припустити= 1.

Відповідь: .

Задача 24. Електромагнітна хвиля з частотою 3,0 МГц переходить з вакууму в немагнітне середовище з відносною діелектричною проникністю =4. Визначити зміну довжини хвилі.

Відповідь: м.

Задача 25. Амплітуда напруженості магнітного поля плоскої електромагнітної хвилі, що розповсюджується у немагнітному середовищі, діелектрична проникність якого =81, дорівнюєА/м. Визначити амплітуду напруженості електричного поляі швидкість розповсюдження хвилі в середовищі.

Відповідь: =2,09 В/м;м/с.

Задача 26. Плоска монохроматична електромагнітна хвиля поширюється вздовж осі х. Амплітуда напруженості електричного поля хвилі мВ/м, амплітуда напруженості магнітного поля хвилімА/м.Визначите енергію, перенесену хвилею за час 10 хв через поверхню, розташовану перпендикулярно осіx, площа поверхні см². Період хвилі .

Відповідь: мкДж.

Задача 27. Змінну напругу, діюче значення якої = 220 В, а частота=50 Гц, увімкнули послідовно з індуктивністю31,8 мГн з активним опором10 Ом. Знайти кількість тепла, що виділилося на активному опорі за 1 секунду. Як зміниться, якщо послідовно з індуктивністю і активним опором увімкнули конденсатор ємністю219 мкФ?

Відповідь: кВт; збільшиться в два рази.

Задача 28. Власна частота коливань контуру =8 кГц, добротність, у контурі виникають загасаючі коливання. Знайти закон зменшення енергії в опорі від часу. Яка частина початкової енергії збережеться у контурі за час 1мс?

Відповідь: , 50%.

Задача 29. На скільки процентів відрізняється частота вільних коливань реального контуру з добротністю від частоти вільних коливань такого самого ідеального контуру?

Відповідь: 5%.

Задача 30. Коло змінного струму складається з послідовно з’єднаних котушки, конденсатора та резистора. Амплітудне значення сумарної напруги на котушці та конденсаторі =173 В, а амплітудне значення напруги на резисторі=100 В. Визначте зсув фаз між струмом та зовнішньою напругою.

Відповідь: 60º.