11.5 Приклади розв’язання задач

Задача 1. Яку напругу прикладено до рентгенівської трубки з нікелевим антикатодом, якщо різниця довжини хвиль - лінії та короткохвильової межі суцільного спектра дорівнюєпм?

Дані: пмм;;Кл;м/с;Дж·С;м^-1 ;

–?

Аналіз і розв’язання

Гальмівне рентгенівське випромінювання виникає внаслідок гальмування електронів антикатодом. Тому енергія рентгенівського фотона не може бути більшою за енергію електрона , або. Внаслідок цього найменша довжина хвилі рентгенівського випромінювання (короткохвильова межа гальмівного рентгенівського випромінювання) дорівнює:

. (11.1)

Запишемо закон Мозлі для частоти - ліній характеристичного рентгенівського випромінювання:

.

Звідси знайдемо довжину хвилі - лінії:

. (11.2)

Тут – порядковий номер елемента, який випромінює характеристичне рентгенівське випромінювання (в даній задачі це нікель).

Використовуючи (11.1) та (11.2) запишемо

,

,

(В).

Задача 2. Найменша напруга на рентгенівській трубці, при якій з’являються -лінії в спектрі характеристичного рентгенівського випромінювання, дорівнює= 8 кВ. Визначити, з якого матеріалу виготовлений антикатод цієї трубки. Обчислити частотуі енергію фотона, який належить до- лінії в спектрі характеристичного випромінювання матеріалу антикатода.

Дані: = 8 кВ =В;Кл;Джс;

–? –?–?

Аналіз і розв’язання

Рентгенівське випромінювання з’являється при бомбардуванні антикатода трубки електронами, які випромінюються катодом, за рахунок енергії, що губиться при гальмуванні електроном. Величина кванта не може перебільшувати енергію електрона. Тому квант випромінювання з’явиться тоді, коли його енергія дорівнюватиме мінімальній енергії електрона, який бомбардує антикатод.

Отже,

,

де – заряд електрона.

Звідси

. (11.3)

Якщо енергія електрона достатня, щоб проникнути в глибину електронної оболонки атома, то він здатний вибити електрони, які належать електронним шарам атома. При цьому на фоні суцільного рентгенівського спектра з’являються лінії характеристичного випромінювання.

Частота лінії - серії підпорядковується закону Мозлі

, (11.4)

де с^-1 – стала Рідберга, – атомний номер елемента, який випромінює цей спектр.

Якщо підставити в (11.3) частоту -серії (11.4), отримаємо:

.

Звідси отимаємо

. (11.5)

Підставляючи числові значення величин у формулу (11.5), знаходимо, що . Отже, матеріалом антикатода є мідь.

Енергію фотона знайдемо за формулою

. (11.6)

Якщо підставити до (11.6) числові значення величин, маємо

(кеВ).

Частота фотона , деДж∙с.

Розрахунок дає =19,3 (фГц).

Задача 3. Валентний електрон атома натрію перебуває в стані, що характеризується головним квантовим числом . Інші квантові числа такі, що атом має найбільший із можливих механічний момент. Визначити магнітний моментатома в цьому стані.

Дані:;Дж/Тл;

–?

Аналіз і розв’язання

Магнітний момент атома дорівнює

,

де – магнетон Бора,

–фактор Ланде,

.

Для того, щоб визначити , необхідно знати чому дорівнюють квантові числа,та. Знайдемо ці квантові числа, користуючись умовою задачі. Механічний момент атома дорівнює.

Найбільшим він буде тоді, коли має найбільше можливе значення, тобто.

Для даної задачі найбільшим буде , тому щоза умовою. Для атомів натрію (і інших лужних металів) квантове числоспівпадає із спіновим числом валентного електрона на зовнішній електронній оболонці. Тоді, а.

Знаходимо магнітний момент атома.

.

Задача 4. Вузький пучок атомів ванадію в основному стані пропускають по методу Штерна та Герлаха через поперечне неоднорідне магнітне поле довжиноюсм. Розщеплення пучка спостерігають на екрані, який знаходиться на відстанісм від магніту. Кінетична енергія атомівМеВ. Чому дорівнює градієнт індукції магнітного поля, якщо відстань між крайніми компонентами розщепленого пучка на екрані дорівнюємм?

Дані:смм;смм;МеВДж;Дж/Тл;ммм;

–?

Аналіз і розв’язання

Атоми ванадію перебувають в стані . Цьому стану відповідають квантові числа;.

Квантове число знайдемо із співвідношення:

Якщо атом рухається в неоднорідному магнітному полі, то на нього діє сила

(11.7)

де - повне магнітне квантове число;– фактор Ланде.

Якщо , тодорівнює;;;.

Відповідно до цього пучок атомів ванадію в неоднорідному магнітному полі розщеплюється на чотири компоненти. Для крайніх компонент розщепленого пучка ;; або.

Із формули (11.7) можна знайти градієнт індукції магнітного поля , для цього треба знати. Розглянемо рух атомів в системі координат. Вісьнапрямлена перпендикулярно екрану, а вісь– паралельно екрану, на якому спостерігають розщеплення пучка (рис. 11.1). В напрямі осіна атоми діє сила, тому атоми рухаються із прискоренням, а проекція швидкості атомівзмінюється віддо, де– час руху атомів у магнітному полі. Проекція швидкостізалишається сталою під час руху атомів у магнітному полі та дорівнює(– кінетична енергія атомів). Зміщення атомів у магнітному полі можна знайти з формули

, (11.8)

де ;.

Рисунок 11.1

Використовуючи формули (11.7) та (11.8), визначимо

.

Після вильоту з області неоднорідного магнітного поля атоми рухаються із сталою швидкістю , проекції якої дорівнюють,. Якщо– час руху атомів до екрану після вильоту з магнітного поля, а– зміщення атомів за цей час, то

,

.

З рис. 11.1 зрозуміло, що , тому

,

,

(Тл/м).

Задача 5. Нарисуйте схему можливих переходів між термами тав слабкому магнітному полі.

Дані: ;.

Аналіз і розв’язання

Квантове число, яке визначає проекцію магнітного моменту атома на напрям магнітного поля, дорівнює – (всьогоможливих значень). Тому в магнітному полі енергетичні рівні атома розщеплюються нарівнів. Так термрозщепиться на 4 рівні, що відповідають значенням;;;. Термрозщепиться на 2 рівня, що відповідають значенням;.

Схему можливих шести переходів між рівнями зображено на рис. 11.2. Тут враховано, що правила відбору дозволяють переходи між станами, для яких .

Рисунок 11.2