8 Хвилі де Бройля. Співвідношення невизначеностей гейзенберга.

8.1 Мета заняття

Ознайомитись з гіпотезою де Бройля про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму. З’ясувати фізичний смисл співвідношення невизначеностей Гейзенберга та навчитися використовувати його для розв’язання задач.

8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

При підготовці до практичного заняття вивчити теоретичний матеріал за конспектом або підручником [2, розд. 3.1, 3.4; 4, § 18-20; 5, розд. 11.1-11.3]. З’ясувати, що за де Бройлем між корпускулярними і хвильовими характеристиками електрона або іншої мікрочастинки існує такий зв’язок, як і між характеристиками фотона. Засвоїти співвідношення невизначеностей Гейзенберга для координат та імпульсу, для енергії та часу. Відповісти на контрольні запитання, ретельно розібрати розв’язування задач, що наведені у прикладах.

8.3 Основні закони і формули

1. Довжина хвилі де Бройля

,

де – імпульс частинки,

Дж ·с – стала Планка.

а) У класичному наближенні ( швидкість частинки набагато менша за швидкість світла )

,

,

де – швидкість частинки,

–маса спокою.

б) В релятивістському випадку (швидкість частинки є близькою до швидкості світла у вакуумі)

,

.

2. Зв'язок довжини хвилі де Бройля з кінетичною енергією частинки

а) У класичному наближенні (кінетична енергія частинки набагато менша за її енергію спокою ,)

,

.

б) В релятивістському випадку (кінетична енергія частинки є порівняною з її енергією спокою )

,

.

3. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга:

а) для координати та імпульсу частинки

,

,

,

де ,,– невизначеність проекцій імпульсу частинки на осі х,y, z відповідно; ,,– невизначеності її координат;

б) для енергії і часу

,

де – невизначеність енергії даного квантового стану;– час перебування системи в цьому стані.

8.4 Контрольні запитання і завдання

1. Що таке корпускулярно – хвильовий дуалізм?

2. У чому смисл гіпотези де Бройля?

3. Що таке хвиля де Бройля? Чому дорівнює її довжина?

4. У чому полягають хвильові властивості мікрочастинок?

5. Як визначається групова та фазова швидкість хвиль де Бройля?

6. Запишіть співвідношення невизначеностей для координат і імпульсу.

7. Запишіть співвідношення невизначеностей для енергії й часу.

8. В чому полягає фізичний зміст співвідношення невизначеностей?

8.5 Приклади розв’язання задач

Задача 1. Визначити довжину хвилі де Бройля, якщо кінетична енергія електрона дорівнює 0,5 кеВ.

Дані:кг ;Дж ·с;

= 0,5 кеВ = 0,8·10 ^-19 Дж

–?

Аналіз і розв’язання

Кінетична енергія електрона набагато менша за його енергію спокоюДж=0,51МеВ.

Для визначення довжини хвилі де Бройля скористаємось формулою:

. (8.1)

З виразу для кінетичної енергії , знайдемо

(8.2)

Підставивши (8.2) в (8.1), отримаємо

(м).

Задача 2. Електрон рухається зі швидкістю Мм/с. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона. Порівняти її з комптонівською довжиною хвилі. (=2,426 пм)

Дані:кг ;Дж ·с;

=212 Мм/с = 2,12·10 ⁸ м/с.

–?

Аналіз і розв’язання

Швидкість електрона є порівняною зі швидкістю світла у вакуумі м/с. Скористаємось формулою для релятивістського імпульсу

, (8.3)

де – маса спокою електрона.

Довжина хвилі де Бройля

. (8.4)

Підставляючи (8.3) в (8.4), маємо

. (8.5)

Підставляючи числові значення величин в (8.5), маємо

=2,426 (пм).

Таким чином, довжина хвилі де Бройля електрона дорівнює комптонівській довжині хвилі, тобто .

Задача 3. Частинка рухається із швидкістю . Знайти вирази для фазової і групової швидкостей поширення хвиль де Бройля, пов’язаних із рухом частинки.

Дані:

– ?– ?

Аналіз і розв’язання

Як відомо, фазова швидкість визначається співвідношенням

,

де – циклічна частота;– хвильове число.

Перепишемо це співвідношення так

,

де ,.

Оскільки , то фазова швидкість хвиль де Бройля більше за швидкість світла у вакуумі.

Групова швидкість визначається за формулою

.

Перепишемо цей вираз так

.

Оскільки , то

.

Тобто – групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює швидкості частинки.

Задача 4. Пучок електронів, які рухаються із однаковою швидкістю, падає нормально на вузьку щілину шириною 1 мкм. Визначити швидкість цих електронів, якщо на екрані, розташованому на відстані 20 см від щілини, ширина центрального дифракційного максимуму складає=48 мкм.

Дані: =1 мкм =10^-6м; см =0,2 м;

48мкм = 4,8·10^-5м; кг.

–?

Аналіз і розв’язання

Ширина центрального дифракційного максимуму на екрані дорівнює відстані між двома першими дифракційними мінімумами (рис. 8.1).

Рисунок 8.1

Дифракційний мінімум спостерігається, якщо виконується умова

.

Для першого дифракційного мінімуму =1, тоді

. (8.6)

З малюнку бачимо, що ширина центрального дифракційного максимуму дорівнює

. (8.7)

Якщо кут дуже малий, то.

Скориставшись (8.6) та (8.7) знайдемо

. (8.8)

За де Бройлем рух електрона з швидкістю пов’язаний з деяким хвильовим процесом, довжина хвиль якого визначається рівнянням

,

звідки

.

Скориставшись (8.8) знайдемо

(Мм/с).

Задача 5. Мінімальний діаметр атома водню =124 пм. Застосовуючи співвідношення невизначеностей, знайти кінетичну енергію електрона в атомі водню.

Дані: =124 пм =1,24·10^-10м; кг.

– ?

Аналіз і розв’язання

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга має вигляд

. (8.9)

Якщо діаметр атома , тоді електрон буде знаходитися в атомі в межах області з невизначеністю

.

Тоді співвідношення (8.9) можна записати у вигляді

,

або

. (8.10)

Невизначеність імпульсу не може перебільшувати значення самого імпульсу, тобто

.

Імпульс пов’язаний з кінетичною енергією електрона співвідношенням

.

Замінимо значенням, ана, і перейдемо від нерівності (8.10) до рівності. В результаті маємо

.

Звідки

=1,45·10^-18 Дж=9,1 (еВ).