Вариант 13

1. Вектор , параллельный плоскостиXOY, образует с осью OY угол  = 45, а с осью OX – тупой угол . Найти его координаты, если.

2. Вектор коллинеарен векторуи образует с осьюOX тупой угол. Найти координаты вектора , если.

3. Даны векторы ,. Найти проекцию векторана направление вектора.

4. Определить, при каком значении α векторы ибудут взаимно перпендикулярны, если,и.

5. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и.

6. Вектор перпендикулярен векторамии имеет длину, равную. Найти координаты вектора.

7. Даны вершины треугольника А(1, −1, 2), В(5, −6, 2), С(1, 3, −1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

8. Даны силы , приложенные к точкеN(5, −4, 3). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку K(4, −5, 9).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А(3, 5, 4), В(8, 7, 4), С(5, 10, 4), D(4, 7, 8). Найти ее объем и длину высоты СЕ, опущенной на грань АВD.

10. Установить, компланарны ли векторы , ,.

Вариант 14

1. Вектор , параллельный плоскостиXOZ, образует с осью OZ угол γ = 30, а с осью OX – острый угол . Найти его координаты, если.

2. Дан вектор . Найти вектор, коллинеарный векторуи противоположного с ним направления, если.

3. Даны три вектора: ,и. Вычислить.

4. Найти длину вектора , если,,.

5. Даны вершины треугольника: А(3, 2, 3), В(5, 1, 1), С(1, 2, 1). Найти внутренний угол при вершине А.

6. Найти единичный вектор, ортогональный векторам ии образующий с ортомтупой угол.

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ,и длины его высот.

8. Даны три силы , приложенные к точке В(5, −4, 2). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку С(7, −3, 5).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А(2, 5, 1), В(6, 7, 9), С(4, 5, 1), D(2, 1, 4). Найти ее объем и высоту, опущенную на грань ВСD.

10. Лежат ли точки А(1, 2, 1), В(4, 1, 5), С(1, 2, 1), D(2, 1, 3) в одной плоскости?

Вариант 15

1. Радиус-вектор точки М составляет с осью ОY угол 60, а с осью ОZ угол 45; его длина . Найти координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.

2. Найти вектор , коллинеарный векторуи противоположного с ним направления, если.

3. Даны векторы ,и. Найти проекцию векторана вектор.

4. Дан треугольник с вершинами А(2, −1, 6), В(3, 0, 5), С(5, 2, 6) найти угол между медианой АМ и стороной АВ.

5. Вектор перпендикулярен векторам,и удовлетворяет условию. Найти координаты вектора, если.

6. На векторах ипостроен параллелограмм. Найти его площадь и высоту АК, опущенную на сторону ВС.

7. С помощью векторного произведения вычислить синус угла, образованного векторами и.

8. Даны три силы , приложенные к точке Е(9, 4, 7). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку L(8, −1, 7).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А₁(4, 2, 3), А₂(5, 4, 2), А₃(5, 7, 4), А₄(6, 4, 7). Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной на грань А₁А₂ А₃.

10. При каком значении λ векторы , ,будут компланарны?