Вариант 10

1. Вектор , лежащий в плоскости ХOY, образует с осью OХ угол  = 120, а с осью ОY – тупой угол . Найти координаты вектора , если.

2. Дан вектор . Найти вектор, коллинеарный вектору, если.

3. Определить, при каком значении  векторы и будут взаимно перпендикулярны, если,,.

4. Даны векторы . Найти проекцию векторана вектор.

5. В треугольнике АВС с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 3, 1), С(3, 2, 1) найти острый угол между медианой ВD и стороной АС.

6. Найти единичный вектор , перпендикулярный векторамии образующий с ортомострый угол.

7. Вычислить площадь треугольника с вершинами В(2, 5, 3), С(3, 2, 4), D(1, 2, 2) и найти его высоту BF.

8. Даны силы и. Найти работу их равнодействующей при перемещении точки приложения сил из начала координат в положение М(3, 4, 1).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А(8, 2, 7), В(3, 5, 9), С(2, 4, 6), D(4, 6, 5). Найти объем пирамиды и высоту, опущенную на грань АCD.

10. Доказать, что точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

Вариант 11

1. Вектор , лежащий в плоскости ХOZ, образует с осью OZ угол  = 150, а с осью ОX – тупой угол. Найти координаты вектора , если его длина равна.

2. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

3. Найти длину вектора , если,,.

4. Даны вершины треугольника А(1, 2, 4), В(4, 2, 0) и С(3,2,1). Найти его внутренний угол при вершине А.

5. Найти проекцию вектора на вектор, если,.

6. Найти единичный вектор, ортогональный векторам ии образующий с ортомострый угол.

7. Найти длину высоты ВК треугольника ВСD, если ,.

8. Даны три силы: , приложенные к точке В(3, 2, 6). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку С(4, 5, 3).

9. Дана пирамида с вершинами в точках А(7, 4, 2), В(5, 3, 9), С(1,5, 3), D(7, 9, 1). Найти ее объем и длину высоты, опущенной из вершины С на грань АВD.

10. Установить, компланарны ли векторы .

Вариант 12

1. Вектор , лежащий в плоскости YOZ, образует с осью OZ угол  = 150, а с осью ОY – острый угол . Найти координаты вектора , если.

2. Вектор коллинеарен векторуи имеет противоположное с ним направление. Найти координаты вектора, если.

3. Даны векторы ,и. Найти проекцию векторана вектор.

4. Дан треугольник с вершинами А(2, 3, 1), В(2, 1, 4), С(2, 4, 0). Определить его внутренний угол при вершине С.

5. Вектор ортогонален векторам ,и удовлетворяет условию. Найти координаты вектора, если.

6. Дан треугольник с вершинами в точках А(4, 2, 5), В(0, 7, 2), С(0, 2, 7). Вычислить длину высоты ВD.

7. Вектор , перпендикулярный векторам ,, образует с осьюOY тупой угол. Найти координаты вектора , если.

8. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения М₁(1, 2, 0) в положение М₂(2, 1, 3).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А(6, 3, 5), В(5, 1, 7), С(3, 5, 1), D(4, 2, 9). Найти ее объем и длину высоты, опущенной из вершины В на грань АCD.

10. Установить, компланарны ли векторы , ,.