К.Р. Векторная алгебра Вариант 1

1. Вектор составляет с координатными осями OY и OZ углы  = 60 и  = 60. Вычислить его координаты, если .

2. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

3. Найти длину вектора , если.

4. Даны векторы , . Найти проекцию векторана вектор.

5. Дан треугольник с вершинами А(2, 3, 1), В(2, 1, 4), С(2, 4, 0). Определить его внешний угол при вершине С.

6. Найти вектор , перпендикулярный к векторами.

7. Найти высоту АК треугольника АВС с вершинами А(3, 2, 4), В(1, 4, 7), С(1, 2, 2).

8. Даны три силы, приложенные к точке С(5, 4, 2). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В(4, 6, 5).

9. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках А(4, 4, 3), В(2, 1,1), С(2, 2, 1), D(1, 3, 2) и высоту СК, опущенную из вершины С на АВD.

10. При каком значении λ векторы , ,будут компланарны?

Вариант 2

1. Вектор , коллинеарный вектору образует острый угол с осьюOZ. Найти координаты вектора , если.

2. Радиус-вектор точки М(x, y, z) составляет с осью ОУ угол 60, а с осью ОZ угол 45, его длина . Найти координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.

3. При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору, если?

4. Даны вершины треугольника А(1, 2, 4), В(4, 2,0), С(3, 2, 1). Определить его внутренний угол при вершине В.

5. Даны три вектора ,,. Вычислить

6. В треугольнике с вершинами А(1, 1, 2), В(5, 6,2) и С(1, 3, 1) найти высоту ВD.

7. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторами, образует с ортомтупой угол и.

8. Даны три силы , приложенные к точке К(7, 1,5). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку N(2, 3, 6).

9. Даны вершины пирамиды А(0, 6, 4), В(3, 5,3), С(2, 11, 5), D(1, 1, 4). Найти ее объем и длину высоты, проведенной из вершины А к грани ВСD.

10. При каком значении λ точки А(1, 2, λ), В(0, 1,5), С(1, 2, 1), D(2, 1, λ) лежат в одной плоскости?

Вариант 3

1. Даны две координаты вектора: x = 2, y =  3. Определить его третью координату z и направляющие косинусы, если его модуль равен 7.

2. Вектор , коллинеарный вектору образует с осью ОХ тупой угол. Найти координаты вектора, зная, что.

3. Найти такое число , чтобы косинус угла между векторами ибыл равен.

4. Даны три вектора . Вычислить проекцию векторана вектор.

5. Найти вектор , ортогональный векторамии удовлетворяющий условию, если.

6. Найти длину высоты СК треугольника АВС с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(1, 1, 0).

7. На векторах и построен параллелограмм. Найти его высоту, опущенную из конца вектора.

8. Даны три силы , приложенные к точке С(3, 5, 9). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В(5, 6, 3).

9. Дана пирамида с вершинами в точках А(1, 2, 3), В(2, 4, 1), С(7, 6, 3) и D(4, 3, 1). Найти ее объем и длину высоты, проведенной из вершины А на грань ВСD.

10. При каком значении y точка М(2, y, 0) будет лежать в плоскости точек А(3, 4, 1), В(2, 5, 0), С(1, 3, 2)?