Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя^[1]) — метод нахождения пределов функций,раскрывающий неопределённости вида  и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка.

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

1.  или ;

2. ;

3.  в проколотой окрестности a;

4. Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История.

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализбесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что безвсякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того,чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензиина все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу подпримечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

Доказательство.

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можемнепрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x израссматриваемой полуокрестности и применим к отрезку  теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, изполученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа,это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем t из отрезка  и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равенединице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множительравен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этогофакта, используя то же значение , что и в определении для α:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и .По любому данному  можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ,значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x,достаточно близких к a, а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры.

• 

• Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель,и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x³). В этом примере получается:

• ;

•  при a > 0.

(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к ; или к .)