9. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

9.1. F-распределение и проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.

9.2. Проверка гипотезы о равенстве статистической оценки дисперсии и дисперсии генеральной совокупности.

9.3. Проверка гипотезы о равенстве средних по двум выборкам из нормальных совокупностей.

9.4. Проверка гипотезы о равенстве статистической оценки математического ожидания заданному значению по выборке из нормальной генеральной совокупности.

9.5. Проверка гипотезы об однородности ряда дисперсий по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта.

9.6. Проверка гипотезы об однородности ряда дисперсий по выборкам одинакового объема. Критерий Кохрана.

9.7. Проверка гипотез о вероятности в случае биномиального распределения.

9.8. Проверка гипотез об однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения.

9.9. Проверка гипотезы о виде закона распределения.

9.10. Оценка сомнительных результатов.

Задачи для самостоятельного решения

1. По результатам 8 замеров установлено, что среднее время изготовления детали 48 с. Предполагая, что время изготовления есть нормальная случайная величина с 3 с, необходимо:

а) проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу 50 c. против конкурирующей гипотезы 45 с.;

б) вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу 50 c. против конкурирующей гипотезы 50 c.

2. На контрольных испытаниях 16 ламп было определено 297 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с 20 ч, необходимо:

а) проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу 300 ч против конкурирующей гипотезы 290 ч;

б) вычислить мощность критерия;

в) на уровне значимости 0,08 проверить гипотезу 300 ч при конкурирующей гипотезе 300 ч.

3. В таблице приведены данные об урожайности пшеницы на 8 опытных участках одинакового размера.

Участки	1	2	3	4	5	6	7	8
Урожайность (ц/га)	26,5	25,2	28,9	30,1	32,3	29,3	26,1	25,0

Предполагается, что урожайность пшеницы есть нормальная случайная величина. Требуется:

а) на уровне значимости 0,1 проверить гипотезу 28 ц/га против конкурирующей гипотезы 30 ц/га;

б) по условию а) вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости 0,002 гипотезу 29 ц/га против конкурирующей гипотезы 29 ц/га.

4. При обработке данных 7 испытаний пограничного катера по­лучены следующие значения его максимальной скорости: 38, 49, 42, 46, 45, 41, 39 км/ч. Полагая, что максимальная скорость катера имеет нор­мальное распределение, проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу 45 км/ч:

а) при конкурирующей гипотезе 40 км/ч,

б) при конкурирующей гипотезе 45 км/ч;

в) по условию а) задачи вычислить мощность критерия.

5. По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до склада боеприпасов 73 мин. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина, на уровнях значимости 0,05 и 0,1 проверить гипотезу 75 мин:

а) при конкурирующей гипотезе 72 мин, если известно, что 4 мин;

б) при конкурирующей гипотезе 72 мин, если выборочное среднее квадратическое отклонение равно 4 мин;

в) для условий а) и б) вычислить мощность критерия.

6. При 7 независимых измерениях диаметра поршня одним и тем же прибором получены следующие результаты: 82,45; 82,30; 82,48; 82,05; 82,45; 82,60; 82,46 мм. В предположении, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат сис­тематической ошибки на уровнях значимости 0,05 и 0,2, проверить гипотезу 0,02 мм²:

а) при конкурирующей гипотезе 0,05 мм²;

б) при конкурирующей гипотезе 0,02 мм²;

в) при конкурирующей гипотезе > 0,02;

г) для условия а) вы­числить мощность критерия.

7. На основании 12 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна 67 мм и 0,7 мм. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0,01 проверить гипотезу 0,5 мм²:

а) при кон­курирующей гипотезе 0,1 мм²;

б) при конкурирующей гипо­тезе 0,5 мм²;

в) при конкурирующей гипотезе >0,5 мм²;

г) по условию а) задачи вычислить мощность критерия.

8. Точность работы автоматической линии проверяют по дис­персии контролируемого признака, которая не должна превышать 0,11. По результатам выборочного контроля получены следующие данные:

Контролируемый размер	63,0	63,5	63,8	64,4	64,6
Частота	3	7	10	8	2

Требуется проверить на уровне значимости 0,01, обеспечивает ли ли­ния требуемую точность.

9. Из продукции двух автоматических линий, обрабатывающих корпуса вентилей одного типоразмера, взяты выборки объемом соот­ветственно 14 и 9 корпусов. По результатам выбороч­ных наблюдений найдено 182 мм, 185 мм. Предварительно установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случай­ные величины с дисперсиями 5 мм² и 7 мм² . Требует­ся на уровнях значимости 0,025 и 0,075 проверить гипотезу :

а) при конкурирующей гипотезе ;

б) при конку­рирующей гипотезе .

10. По двум независимым выборкам объемом 25 и 12, извлеченным неформальных генеральных совокупностей, най­дены выборочные средние 1350 и 1375. Дисперсии генераль­ных совокупностей известны - 120 и 100. На уровне зна­чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конку­рирующей гипотезе .

11. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:

Расход сырья	304	307	312
Число изделий	2	6	3

Расход сырья по новой технологии составил:

Расход сырья	292	304	308	314
Число изделий	2	7	4	1

Предположив, что расходы сырья в обоих случаях есть нормальные слу­чайные величины с одинаковыми средними квадратическими отклонениями и генеральными средними и , проверить на уровне значи­мости 0,1 нулевую гипотезу против конкурирующей ги­потезы: а) ; б) .

12. Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих одно­типные изделия, взяты выборки объемом 10 и 13. По результатам выборок найдены 82,7 мм, 82,3 мм, 0,8 и 1,1. В предположении о нормальном законе распределения погрешностей изготовления требуется на уровне значимости 0,01 проверить гипотезу при конкурирующей гипотезе: а) ; б) .

13. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две выборки объемом 10 и 9. По результатам измерения контролируемого размера вычислены выборочные дисперсии 0,95, 2,75 и 64,3 мм, 64,8 мм. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирую­щей гипотезы .

14. По результатам двух независимых выборок объемом 9 и 15, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии 24,1 и 8,6, а также 46,9 мм и 47,2 мм. Проверить на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей, т.е. при конкурирующей гипотезе .

15. По четырем независимым выборкам объемом 11, 15, 16 и 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные дисперсии, равные соответст­венно 3,5; 2,5; 4,0; 5,5. Проверить на уровне значимости 0,02 ги­потезу об однородности дисперсий .

16. Сравнивают точность обработки деталей на четырех стан­ках. Наибольшую точность имеет тот станок, дисперсия контролируе­мого параметра которого меньше. На первом станке обработано 8 деталей, на втором - 12, на третьем и четвертом по 16 деталей. Исп­равленные выборочные дисперсии соответственно равны: 0,0051; 0,0038; 0,0064; 0,0028. Допустив, что ошибки изготовления распре­делены нормально, на уровне значимости 0,025 проверить гипотезу о том, что все станки имеют одинаковую точность.

17. Три фасовочных автомата настроены на взвешивание одного и того же веса. С целью проверки точностных характеристик автома­тов из их продукции взяты выборки объемом 14; 16; 20. Контрольные взвешивания на эталонных весах показали, что величина отклонения веса продукции от заданной величины составила (в граммах).

На первом автомате
Отклонение	1	2	4
Частота	6	4	4
На втором автомате
Отклонение	2	4	5	7
Частота	5	6	4	1
На третьем автомате
Отклонение	1	2	5	8
Частота	4	6	8	2

Требуется:

а) проверить на уровне значимости 0,1 гипотезу о ра­венстве точностных характеристик (дисперсий) фасовочных автоматов;

б) найти оценку генеральной дисперсии.

18. Пять станков-автоматов выполняют однотипную технологи­ческую операцию. Из продукции каждого станка для контрольных изме­рений взято по одной выборке из 11 деталей. По результатам выбо­рочных измерений найдены несмещенные оценки дисперсий : 0,0121; 0,0256; 0,0196; 0,0336; 0,0161. Допустив, что погрешность изготовления есть нормальная случайная величина, проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что точечные характеристики (дисперсии) станков равны.

19. С целью анализа влияния 4 режимов закалки на прочность деталей каждым режимом закалки обработано по 10 деталей. Исправленные значения выборочных дисперсий, характеризу­ющие вариацию прочности деталей , равны: 0,26; 0,36; 0,89; 0,47. Требуется на уровне значимости 0,01 проверить ги­потезу о равенстве дисперсий, т.е. о независимости вариации прочности деталей от режима закалки.

20. Из продукции 4 станков проконтролировано соответствен­но 150, 50, 100 и 175 изделий, из кото­рых оказались дефектными 20; 8; 15 и 30 изделий. На уровне значимости 0,01 и 0,05 проверить гипотезу о том, что вероятности появления дефектного изделия на всех станках рав­ны, т.е. .

21. Во время экзаменов курсантам были предложены задачи из семи разделов изучаемого курса. Результаты экзамена приведены в таблице.

Номер раз­дела курса	1	2	3	4	5	6	7
Число предложенных для решения задач	165	66	270	160	80	350	150
Доля решен­ных задач	0,855	0,509	0,522	0,484	0,860	0,412	0,420

Требуется на уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о том, что вероятность решения курсантами задачи не зависит от того, к какому разделу она относится, т.е. для всех .