- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Механика
- •1.1. Векторы, производные и интегралы
- •1.2. Поступательное движение абсолютно твердого тела (атт)
- •1.2.1. Кинематика частицы и поступательного движения атт
- •1.2.2. Динамика частицы и поступательного движения атт
- •1.3. Вращение атт вокруг неподвижной оси
- •1.3.1. Кинематика вращения атт вокруг неподвижной оси
- •1.3.2. Момент силы. Момент инерции и момент импульса атт
- •1.3.3. Основной закон динамики вращения атт вокруг неподвижной оси
- •1.4. Механическая работа. Энергия. Законы сохранения в механике
- •1.4.1. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии
- •1.4.2. Закон сохранения импульса. Столкновение частиц.
- •1.4.3. Закон сохранения момента импульса
- •1.5. Элементы специальной теории относительности
- •2. Молекулярная физика и термодинамика
- •2.1. Уравнение состояния идеального газа. Закон Дальтона
- •2.2. Распределения Максвелла и Больцмана
- •2.3. Первый закон термодинамики. Адиабатный процесс
- •2.4. Теплоемкость. Энтропия. Цикл Карно
- •Библиографический список
- •Приложение
- •Часть 1.
1.3. Вращение атт вокруг неподвижной оси
1.3.1. Кинематика вращения атт вокруг неподвижной оси
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловое перемещение (угол поворота) , угловая скорость и угловое ускорение
Угол поворота является скалярной величиной, в СИ измеряется в радианах.
Угол поворота связан с числом оборотов N соотношением:
(20)
Угловая скорость характеризует быстроту вращательного движения и при вращении АТТ вокруг неподвижной оси определяется через производную от угла поворота тела по времени:
(21)
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда видно вращение, происходящее против хода часовой стрелки.
По известному закону изменения со временем угловой скорости z(t) можно найти закон изменения угла поворота:
(22)
Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора направленного вдоль оси вращения тела. Направление векторасовпадает с направлением вектора, когда вращение ускоренное, и противоположно направлению векторапри торможении. Угловое ускорение в данный момент времени определяется через первую производнуюот угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени:
(23)
Аналогично определению закона изменения угла поворота, можно найти закон изменения со временем угловой скорости:
(24)
В случае вращения тела с из формул (22) и (24) получаются соотношения:
; (25); (26)
; (27) . (28)
Модули линейной скорости, нормального и тангенциального ускорений связаны с кинематическими характеристиками вращательного движения соотношениями:
; (29) ; (30) . (31)
Задачи
31.(1) Тело, вращаясь равнопеременно, за время 2,3 с изменило угловую скорость от 2,1 рад/с до 0,98 рад/с. Найти угловое ускорение тела.
32.(1) Твердое тело вращается равнопеременно вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, в начальный момент времени равна 0,95 м/с, а через 5,8 с – 4,0 м/с. Определить через 4,3 с после начала движения: 1) угловую скорость и угловое ускорение тела;2) линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения указанной точки.
33.(1) Тело, вращаясь равнопеременно, за 5,0 с от начала движения совершило 100 оборотов. Найти угловое ускорение тела.
34.(1) Маховик, вращающийся с частотой 1,8 с1, останавливается через 1,5 мин. Считая движение равнопеременным, найти, сколько оборотов сделал маховик до остановки, и его угловое ускорение.
35.(1) Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени приведена на рис. 1. Чему равно угловое ускорение тела?
36.(2) Колесо машины за 120 с изменило частоту вращения от 240 об/мин до 60 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных колесом за это время.
37.(2) Колесо радиусом 110 мм вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости колеса и проходящей через его центр масс так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением: гдеВ = 2,5 рад/с; С = 1,8 рад/с3. Найти через 1,8 с после начала движения угловую скорость и угловое ускорение колеса. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти в указанный момент времени: 1) линейную скорость, 2) тангенциальное, нормальное и полное ускорения.
38.(2) Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1,3 м от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость модуля линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением: , гдеА = 2,2 м/с2, В = 0,83 м/с3.
39.(2) Диск радиусом 2,2 м вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс, так, что угловая скорость диска меняется со временем по закону: гдеА = 2,4 рад/с; В = 3,9 рад/с3. Вычислить тангенциальное ускорение точек диска, находящихся от его центра на расстоянии, равном половине радиуса диска, в момент времени 3,1 с. Определить угол, на который повернется диск за это время.
40.(2) Зависимость угловой скорости диска, вращающегося вокруг оси Оz, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс диска, от времени задается законом: Вычислить полное ускорение точек, лежащих на краю диска, в момент времени 0,98 с. Определить зависимость угла поворота диска от времени. Радиус диска равен 40 см; А = 2,5 рад/с3; В = 2,1 рад/с4.