Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кр_ТВ_Э

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
798.71 Кб
Скачать

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и примеры выполнения контрольных заданий для студентов специальности 38.03.01 «Экономика» всех формы обучения

Составители: Ф.С. Миронов А.Ю. Сеницкий

Самара

2014

1

УДК 512.1

Теория вероятностей и математическая статистика : методические указания и примеры выполнения контрольных заданий для студентов специальности 38.03.01«Экономика» всех форм обучения / составители : Ф.С. Миронов, А.Ю. Сеницкий.

– Самара : СамГУПС, 2014 г. – 51 с.

Утверждены на заседании кафедры 13.10.2013 г, протокол № 2. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с ФГОС, с действующей программой по высшей математике для экономических специальностей вузов и охватывают разделы общего курса математики: теория вероятностей и математическая статистика.

Составители: Миронов Ф.С., Сеницкий А.Ю.

Рецензенты: к.т.н., доцент СамГУПС Шур В.Л. к.ф.-м.н., доцент СамГУ Воскресенская Г.В.

Под редакцией составителей

Компьютерная верстка Е.А. Ковалева

Подписано в печать 31.03.2014. Формат 60х90. 1/16. Усл. печ. л. 3,19. Заказ № 45.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2014

2

СОДЕРЖАНИЕ

 

Учебная программа...............................................................................................................

4

Правила оформления и выполнения контрольных работ.................................................

4

Основные теоретические сведения для выполнения контрольной

 

работы №1 «Теория вероятностей».....................................................................................

5

Решение типовых задач контрольной работы №1...............................................

13

Основные теоретические сведения для выполнения контрольной

 

работы №2 «Математическая статистика» .......................................................................

23

Решение типового варианта контрольной работы №2........................................

28

Задания для контрольной работы №1 ...............................................................................

36

Задания для контрольной работы №2 ...............................................................................

41

Библиографический список................................................................................................

48

Приложение .........................................................................................................................

49

3

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

1.Теория вероятностей.

1.1 Элементы комбинаторики.

1.2.Случайное событие, его частота и вероятность.

1.3.Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1.5.Повторные испытания. Формула Бернулли.

1.6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

1.7.Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

1.8.Основные числовые характеристики дискретной случайной величины.

1.9.Основные распределения дискретной случайной величины: биномиальное, распределение Пуассона.

1.10.Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

1.11.Функция распределения или интегральный закон распределения. 1.12.Числовые характеристики непрерывной случайной величины: равномерное,

нормальное, показательное.

1.13.Основные распределения непрерывной случайной величины.

1.14.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

2.Математическая статистика.

2.1 .Основные понятия: выборка, вариационный ряд, полигон, гистограмма.

2.2.Точечные оценки неизвестных параметров по выборке.

2.3.Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.

2.4.Критерий согласия Пирсона.

2.5.Корреляционно-регрессионный анализ. Понятие о корреляции случайных величин.

2.6.Коэффициенты корреляции.

2.7.Выборочное корреляционное отношение.

2.8.Метод наименьших квадратов.

2.9.Линейное уравнение регрессии.

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ И ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть возвращены студенту для переработки.

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку, чернилами темного, но не красного цвета. Должны быть поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2.На титульной странице обложки тетради должны быть ясно написаны: название учебного заведения; название кафедры; название дисциплины; номер контрольной работы; номер варианта; фамилия, имя и отчество студента; учебный номер (шифр) студента; фамилия преподавателя; адрес студента.

4

3.В конце работы необходимо указать библиографический список, поставить дату окончания выполнения контрольной работы и расписаться.

4.В контрольную работу должны быть включены все задачи варианта. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задания не своего варианта, не засчитываются.

5.Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

6.Перед решением каждой задачи необходимо полностью записать ее условие. Решения задач следует излагать подробно, объясняя и мотивируя все дальнейшие действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

7.После получения прорецензированной работы с замечаниями, студент должен учесть сделанные рецензентом замечания. Работа над ошибками выполняется после замечаний рецензента. Вносить изменения в написанный до рецензирования текст контрольной работы не допускается.

8.В каждом задании контрольной работы студент выполняет примеры пункта, номер которого соответствует последней цифре шифра зачетной книжки студента. Например, студент с шифром 9-ИС-2085 выполняет задачи №5; 15; 25; ... и т. д.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Результат испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т. д.

Два события называются несовместными (несовместимыми), если появление одного их них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются совместными (совместимыми), если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А,обозначают через А .

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Совокупность событий образует полную группу для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

События А1, А2, … Аn, образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий, называются элементарными.

5

Классическое определение вероятности

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е.

Р(А) = m . n

Следствия:

1.Вероятность достоверного события (m = n) равна единице.

2.Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Элементы комбинаторики

Для подсчета числа элементарных событий используются формулы из раздела элементарной математики - комбинаторики.

2) Размещением без повторений Аnm называется любой упорядоченный набор m

различных элементов множества, состоящего из n различных элементов. Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется по формуле

mn !

Аn = (n m) ! .

2)Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Число всех перестановок находится по формуле

Рn = n!.

3) Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (без учета порядка следования элементов). Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле

mn!

Сn = m! (n m)! .

1)Размещением с повторениями Аkn называется любой набор k элементов множества, состоящего из n различных элементов, причем среди k элементов могут быть как различные элементы, так и одинаковые.

Число размещений с повторениями определяется формулой

k

= n k ,

(k n) .

Аn

Алгебра событий

Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее или в наступлении события А, или события В, или обоих событий одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в выполнении и события А, и события В.

6

Диаграммы Венна

 

Ω

Ω

Ω

А

В

В

А

 

 

А

 

 

 

 

А

А + В или А В

А В или А В

А (не А)

Здесь Ω - пространство элементарных событий (т. е. множество, составленное из всех элементарных событий).

Формулы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

(1.1)

Формула (1.1) справедлива для любого конечного числа несовместных событий

Р

n

 

n

Ai

= P(Ai ).

i=1

 

i=1

Следствие 1: если события А1, А2, …, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице

n

P( Ai ) = 1

i=2

Следствие 2: сумма вероятностей противоположных событий равна единице

Р(А) = 1Р(А) .

В общем случае для двух совместных событий теорема сложения записывается в

виде

Р(А + В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ) =1–Р(АВ).

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В). Следовательно, условие независимости событий можно записать в виде

Р(А|В) = Р(А),

(1.2)

7

а условие зависимости

Р(А|В) ≠ Р(А).

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению

вероятности одного из них на условную вероятность другого

 

Р(АВ) = Р(А) · Р(В|А) = Р(В) · Р(А|В).

(1.3)

Отметим, что зависимость или независимость событий всегда взаимны. Поэтому, в дальнейшем А и В будем называть просто независимыми событиями, если появление одного из них не изменяет вероятности другого. Из равенства (1.2) видно, что для

независимых событий формула (1.3) имеет вид

 

Р(АВ) = Р(А) · Р(В)

.

Теорема умножения для n событий записывается следующим образом:

Р(А1А2Аn) = Р(А1Р(А2/А1Р(А3/А1·А2) …Р(Аn/ А1·А2Аn-1).

В случае независимых в совокупности событий имеем равенство

 

n

 

 

n

 

Р

A

=

P(A ).

i=1

i

i=1

i

Формула полной вероятности и формула Байеса

Предположим, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу несовместных событий, и называемых гипотезами. Тогда вероятность события А можно определить по формуле полной вероятности

n

Р( А) = P(Hi ) P( A / Hi ).

i=1

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть пересчитаны по формуле Байеса

P(Hi / A) =

P(Hi ) P(A/ Hi )

.

n

 

P(Hi ) P(A/ Hi )

 

 

i =1

 

Формула Бернулли. Теорема Лапласа. Формула Пуассона

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А появится в серии из n испытаний m раз, выражается формулой Бернулли

Рn (m) = Cnm pm qnm ,

(1.4)

где q = 1 – р.

Наивероятнейшее число наступлений события А в задаче Бернулли можно определить из двойного неравенства:

(n + 1) · p – 1 ≤ m0 ≤ (n + 1)p.

8

При больших n и m вместо формулы Бернулли удобно пользоваться приближенными формулами. Согласно локальной теореме Лапласа

Pn (m) =

ϕ (x)

, где ϕ (х) =

1

е

1

х2

 

x = m np .

2

,

 

npq

 

2π

 

 

 

 

npq

По интегральной теореме Лапласа вероятность того, что событие А наступит не меньше m1 и не больше m2 раз, равна

Pn(m1 ; m2) = Ф(х2) – Ф(х1),

где

х1

=

m1 np

;

х2 =

m2

np

.

npq

 

npq

 

 

 

 

 

 

Значения функции Лапласа Ф(х) находятся по таблице Приложения 2.

При малых значениях р (р<0,1) и больших n удобно пользоваться приближенной формулой Пуассона

P (m) =

λ m eλ

, где λ = np.

(1.5)

n

m!

 

 

 

Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (какое именно, заранее неизвестно). Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если множество значений случайной величины конечно или счетно (если ее значения можно пронумеровать), т. е. Х = {х1, х2, …, хk, …}, то она называется дискретной. Под законом распределения дискретной случайной величины понимают состояния, связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями:

xi

x1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

Эту таблицу называют рядом распределения. Так как в результате опыта случайная n

величина обязательно принимает какое-то возможное значение, то i=1pi = 1.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическим ожиданием М[Х] дискретной случайной величины Х называется величина

n

M ( X ) M [Х ] mx = xi pi .

i =1

9

Вероятностный смысл математического ожидания – это приблизительно среднее значение случайной величины Х. Основные свойства математического ожидания:

1)М[С] = С (С = const, C – «случайная величина»);

2)М[СХ] = С М[Х];

3)М[X ± Y] = М[X] ± М[Y].

Дисперсией D[Х] или Dx дискретной случайной величины Х называется величина

n

 

Dx = (xi mx )2 pi .

(1.6)

i=1

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины около ее математического ожидания. Формулу (1.6) можно преобразовать к более удобному для вычисления виду

n

Dx = xi2 pi mx2 = М[X 2 ] М2 [X ]

i=1

Чаще рассеивание характеризуют средним квадратическим отклонением σ – величиной, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина Х:

σ (X ) σ[X ] σ х = Dx .

Основные свойства дисперсии для независимых случайных величин:

1)Dx ≥ 0;

2)D[C] = 0;

3)D [CX] = C2D[X];

4)D[X ±Y] = D[X] + D[Y].

Основные законы распределения дискретной случайной величины: биномиальные, распределение Пуассона

Случайная величина Х, для которой вероятность принять значение m вычисляется

по формуле (1.4) называется биномиально распределенной. Для такого распределения

P(X = m) = Cnm pmqnm

(m = 0,1,Kn),

mx = np,

Dx = npq, σ x =

npq , q=1-p!.

Рассматривая вновь распределение Бернулли при n → ∞, p → 0, np = λ = const, получаем предельную вероятность (см. формулу (1.5)). Итак, распределение, описываемое формулой (1.5) называется распределением Пуассона. Его числовые характеристики

mx = λ,

Dx = λ.

Итак, для распределения Пуассона mx = Dx. Это свойство часто применяется на практике при решении вопроса: правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если из опытов известны статистические характеристики случайной величины mx, Dx. Если эти значения близки, то это может служить доводом в пользу правдоподобия гипотезы. На практике обычно уже при n ≥100 и р ≤ 0,1 заменяют биномиальное распределение распределением Пуассона.

10