4166_27v-IDZ9
.1.docИДЗ 9.1 – Вариант 27
1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
1.27
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке:
Положим , тогда .
Если x=, то ; если x=, то
Поэтому:
2.27
Сделаем замену ,
при при
Тогда
Сделаем замену и
при при
Решение интеграла:
3.27
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке:
Представим
Тогда интеграл
4.27
Сделаем замену ,
Тогда и при ,
Вычислим интеграл
5.27
Согласно тригонометрическому тождеству
Получаем:
Сделаем замену ,
при ,
Тогда
6.27
Представим знаменатель интеграла в виде квадрата суммы:
Табличная формула интегрирования
Подставляем, получаем:
7.27
Сделаем замену ,
при при
Сделаем замену ,
при при
8 Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
8.27 а)
Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (1 рода)
от функции y=f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при
Если такой предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся к данному пределу. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Найдем неопределенный интеграл?
Сделаем замену отсюда
Получаем:
Возвратившись к старой переменной, имеем
Окончательно получаем:
б)
Если функция f(x) непрерывна при a < x ≤ b и имеет точку разрыва x = a, тогда
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке . Следовательно, по определению
Решим интеграл:
Представим знаменатель интеграла в виде квадрата разности:
Тогда: