Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metod_fmp

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
756.7 Кб
Скачать

21

мы включаем точки А(-3;-3) и B(3;4) . Чтобы сохранить единую систему обозначений обозначим M 3 (3;3) и M 4 (3;4) .

Аналогично исследуем участок границы ВС. Линия ВС. Ее уравнение y = 4 или y 4 = 0 . (Заметим, что 3 x 4 ). Составляем функцию Лагранжа.

F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( y 4 ).

Из условия

F

= 0,

F

= 0,

F

= 0 получаем систему трех уравнений с тремя

x

y

λ

 

 

 

 

неизвестными

6x + 2 y +10 = 0,

2x + 4 y +10 + λ = 0,y 4 = 0.

Найдем x и y . Из последнего уравнения системы следует y = 4 . Тогда из первого уравнения следует x = −3 . Точка M (3;4) лежит на линии АВ, поэтому

она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения, но она совпадает с точкой В и в число возможных точек включена ранее. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии ВС. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки B(3;4) и С(4;4). Точка В включена уже ранее. Обозначим

M 5 (4;4) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линия

CD.

Ее

уравнение

x = 4

или x 4 = 0 .

 

(Заметим,

что

3 y 4 ).

Составляем функцию Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( x 4 ).

 

 

 

 

 

Из условия

F

 

= 0,

F

= 0,

F

= 0 получаем

систему

трех уравнений с тремя

x

y

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неизвестными

6x + 2 y +10 + λ = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 4 y +10 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

x и

y .

Из последнего уравнения системы следует

x = 4 .

Тогда из

второго уравнения следует

 

9

. Точка

 

9

не лежит на линии CD.

y = −

 

M 4;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии CD. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки С(4;4) и D(4;-3). Точка С включена уже ранее. Обозначим M 6 (4;3) .

Линия АD.

Ее

уравнение

y = −3 или y +3 = 0 .

(Заметим, что 3 x 4 ).

Составляем функцию Лагранжа.

 

F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( y +3).

 

Из условия

F

 

= 0,

F

= 0,

F

= 0 получаем систему

трех уравнений с тремя

x

y

λ

 

 

 

 

 

неизвестными

22

6x + 2 y +10 = 0,

2x + 4 y +10 + λ = 0,y +3 = 0.

Найдем

x и y . Из последнего уравнения системы следует

y = −3 . Тогда из

первого

уравнения следует

x = −

2

. Точка

M 7

 

 

2

 

лежит

на линии АВ,

 

 

 

;3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии АD. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки А и D. Отметим, что эти точки включены уже ранее.

Вычислим

значения

функции z = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y в найденных

точках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка M1 (1,2)

z(1;2) = z1 =-15.

 

 

Точка M 2 (3;1)

z(3;1) = z2

=-5.

 

 

Точка M 3 (3;3)

z(3;3) = z3

=3.

 

 

Точка M 4 (3;4)

z(3;4) = z4 =45.

 

 

Точка M 5 (4;4) z(4;4) = z5 =192.

 

 

Точка M 6 (4;3)

z(4;3) = z6

=52.

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

40

 

Точка M 7

 

;3

z

 

;3

= z7 =

 

.

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, наименьшее значение функции равно (-15) и достигается в точке M1 (1,2) , а наибольшее равно (192) и достигается в точке M 5 (4;4) .

23

В заключении приведем образец выполнения варианта контрольной работы.

Задача 17.. Найти

 

z

и

z

, если z

= tg

 

x5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

tg

 

x5

 

 

=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

=

1

 

 

 

 

 

1

 

(x5 )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

cos2

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

x5

 

 

3

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x5

 

1

 

 

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

=

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

y

3

y

 

cos2

 

 

 

 

 

y

 

3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

y

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=

5x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

y

 

cos

2

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

= −

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y4

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 18. Применяя правило нахождения частных производных сложных функций, найти xz и yz , если

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = cos

u

, где u = (x6

+ y4 ), v = ex2 +xy+2 y2 .

5

 

v

z

 

z ,

u

 

v

 

u

 

v .

Вычислим отдельно

,

,

,

,

u

x

x

y

 

 

 

 

v

 

 

 

y

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

 

 

u4

 

 

 

u4

1

 

(u

4

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

= −sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

u

 

 

u

 

 

5

 

 

 

5

 

u

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4u

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= sin

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

4u

sin

 

u

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

u4

 

 

 

u4

 

4

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

= −sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −sin

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

v

 

5

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v

 

v

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

4

5

 

 

 

5u4

 

 

 

 

 

 

 

 

u4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= = −sin

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

6

 

 

=

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

6

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux =

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x6 + y4 )= 6x5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uy =

(x6 + y4 )= 4 y3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ex2 +xy+2 y2 )= ex2 +xy+2 y2

 

 

(x2

+ xy + 2 y2 ) = ex2 +xy+2 y2 (2x + y)

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

v

 

=

 

 

 

 

 

 

(ex2 +xy+2 y2 )= ex2 +xy+2 y2

 

 

 

(x2 + xy + 2 y2 ) = ex2 +xy+2 y2 (x + 4 y)

 

y

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательный ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=

 

 

 

 

z

 

 

 

u

+

 

 

z

 

 

v

=

4u3

sin

u4

6x

5

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

u

 

 

x

 

 

v

 

x

v

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

5u

 

 

sin

u

 

 

ex

+xy+2 y

 

(2x + y) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=

 

 

 

 

z

 

 

 

u

+

 

 

z

 

 

v

=

4u3

sin

u4

4 y

3

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

u

 

 

y

 

 

v

 

y

v

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

5u

 

 

sin

u

 

 

ex

+xy+2 y

 

(x

+ 4 y) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

Задача 19. Найти dzdt , если z = sin (x5 y3t6 ), где x = arctg3t, y = ctg5t .

Найдем вначале xz , yz , zt , dxdt , dydt .

xz = x sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )x (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )y3t6 x (x5 )=5x4 y3t6 cos(x5 y3t6 ).

yz = y sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )y (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )x5t6 y (y3 )= 3x5 y2t6 cos(x5 y3t6 ).

zt = t sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )t (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )x5 y3 t (t6 )= 6x5 y3t5 cos(x5 y3t6 ). dxdt = dtd (arctg3t )= 1+19t2 3.

dydt = dtd (ctg5t )= −sin12 5t 5.

Тогда получаем

dzdt = xz dxdt + yz dydt + zt =

=5x4 y3t6 cos(x5 y3t6 )1+39t2 3x5 y2t6 cos(x5 y3t6 )

+6x5 y3t5 cos(x5 y3t6 ).

Задача 20. Дана функция u = x2 y3 + xyz .

5

sin2 5t +

Найти: а) градиент функции;

бG) производную функции в точке М(1; 1; 2) по направлению вектора

a ={2;1;2}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

Найдем градиент u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad(u)= u ;

u

; u

. Вычислим частные производные.

 

 

 

 

 

 

ux =

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 y3 + xyz)= 2xy3 + yz .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

uy =

(x2 y3 + xyz)= 3x2 y2 + xz .

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

uz =

(x2 y3 + xyz)= xy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad(u)={2xy3 + yz;3x2 y2 + xz; xy}.

 

 

 

 

 

 

 

Полагая x=1, y=1, z=2, получаем grad(u)={4;5;1}.

 

 

(gradu aG)

 

Для вычисления производной используем формулу

u

=

. Получаем

s

 

aG

 

 

 

 

u

=

4 2 +5 (1) +1 2

=

5

.

 

 

 

 

 

 

 

s

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 +(1)2 + 22

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 21. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y + xz2 + zy2 25 = 0 в точке М(3; 2; 1).

Уравнение касательной плоскости может быть записано в виде

∂Φ

(x x0 ) +

∂Φ

( y y0 ) +

∂Φ

(z z0 ) = 0 .

x

y

z

 

 

 

Уравнение нормали, записанное в каноническом виде, определяется соотношениями

 

x x0

=

 

y y0

=

z z0

.

 

 

 

 

 

 

 

∂Φ

 

 

 

 

 

 

 

∂Φ

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Φ

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Φ

=

 

 

 

(x2 y + xz2

+ zy2

25)= 2xy + z2

=13 ;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

∂Φ

=

 

(x2 y + xz2

+ zy2

25)= x2 + 2zy

=13 ;

 

y

y

 

∂Φ

=

 

(x2 y + xz2

+ zy2

25)= 2xz + y2

=10.

 

z

 

 

z

 

Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид

27

13(x-3)+13(y-2)+10(z-1)=0.

Преобразуя это уравнение, получаем окончательный вид

13x+13y+10z-75=0.

Каноническое уравнение нормали имеет вид

x133 = y132 = z101

Задача 22. Вычислить приближенно с помощью дифференциала первого

порядка 1,993 +1,032 .

Рассмотрим функцию z(x; y) = x3 + y2 . В указанном примере требуется вычислить значение функции в точке M1 (x1 ; y1 ) , координаты которой соответственно

равны x1 =1,99 ,

 

y1 =1,03 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим близкую точку M 0 (x0 ; y0 ) , в которой вычисление функции не

 

представляет проблему. В качестве такой точки возьмем

 

 

 

 

 

 

 

M0 (2;1) , то есть x0

= 2,

 

y0

=1. Тогда

 

x =1,99 2 = −0,01,

 

y =1,03 1 = 0,0

Имеем z(x +

x; y +

 

y) z(x; y) + dz = z(x; y) +

z

 

x +

z

 

 

y . Поскольку

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(x; y) =

 

 

x

3

+ y

2

,

 

то

z

=

 

 

3x2

 

 

 

,

z

=

 

 

 

y

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

x

2 x3 + y2

y

 

 

x3 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(x0 +

 

x)

 

 

 

+( y0 +

 

 

y)

 

 

 

x0

+ y0

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

+ y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 3 + y 2

 

 

 

Поскольку x0 = 2,

 

y0 =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

x = −0,01,

 

 

y = 0,03, то

 

 

 

 

 

 

 

1,993 +1,032 =

 

 

(2 0,01)3 +(1+0,03)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,01) +

 

 

 

 

 

 

 

(0,03) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 23 +12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23 +12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=3+ 0,06 +0,03 =1,99 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 23. Найти d 2 z , если z = e

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем полный дифференциал первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

2x

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz =

 

 

e y

dx

+

 

 

 

 

e y

dy = e y

 

 

 

 

dx + −

 

e y

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

d 2 z = d (dz) =

 

(dz)dx +

 

 

 

(dz)dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

dx + −

 

 

 

 

e

y

dy

dx+

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

dx + −

 

 

 

y

 

y2

 

y

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

3

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+e

y

 

 

 

 

dx + −

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

e

y

dy dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

y

 

y2

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x2

 

+ e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx +

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

+

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

y

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

 

 

 

 

e

y

dy

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy =

dy

Группируя слагаемые, получаем

d 2 z = exy2

 

x2

 

2

 

+ e y

 

2x

3

 

 

y

 

 

 

2

 

2

 

 

x2

 

x

 

x

3

 

 

 

4x

+

dx2

4e y

 

+

 

dxdy +

2

y

2

y

3

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+x4 dy2 y4

Задача 24. Исследовать на экстремум функцию

z = −4x2 + 2xy y2 + 2x + 4 y .

Вычислим частные производные.

xz = −8x + 2 y + 2 . yz = 2x 2 y + 4.

Для определения критических точек имеем систему уравнений

8x + 2 y + 2 = 0,

8x 2 y = 2,

 

2 y

+ 4 = 0.

 

2x

2x 2 y = −4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулы Крамера, получаем

=

 

8

2

 

= −12 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

x =

 

 

2

2

 

= −12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

8

2

 

= −36, x =

x

=1, y =

 

y

= 3. Следовательно, критической

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точкой является точка М(1;3).

 

2 z

 

 

 

 

A =

2 z

=

(8x + 2 y + 2)

= −8, B =

=

(8x + 2 y + 2)

= 2,

x2

x

xy

y

 

 

 

 

 

 

 

C= 2 z = (2x 2 y + 4) = −2 . y2 y

Тогда AC B2 =12 > 0, следовательно, M (1;3) является точкой

экстремума. Поскольку A = −8 < 0, то эта точка является точкой максимума.

Задача 25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z= x2 + xy + y2 5x 4 y

вобласти, ограниченной линиями: x=0, y=1, x=6, y=5.

Схематично область изображена на рисунке. 1. Найдем точки экстремума функции.

Из условия xz = 0 , yz = 0 получаем систему уравнений.

30

2x + y 5 = 0,

2x + y = 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

+ 2 y = 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2 y 4 = 0.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем эту систему.

=

 

2

1

 

= 3,

x =

 

5

1

 

= 6 ,

y =

 

2

5

 

= 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

1

4

 

 

x = 2 , y =1. Найденная точка M1 (2,1) лежит внутри области,

поэтому она находится среди точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения.

2. Далее исследуем границу области. Она состоит из четырех линий, каждую из которых исследуем отдельно.

Линия АВ. Ее уравнение x = 0. (Заметим, что 1 y 5). Составляем функцию Лагранжа.

F(x; y;λ) = x2 + xy + y2 5x 4 y x .

Из условия Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0 получаем систему трех уравнений с

тремя неизвестными

2x + y 5 +λ = 0,x + 2 y 4 = 0,

x = 0.

Найдем x и y . Из последнего уравнения системы следует x = 0. Тогда из второго уравнения следует y = 2 . Точка M2 (0;2) лежит на линии

АВ, поэтому она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии АВ. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки А(0;-1) и B(0;5) . Чтобы сохранить единую систему обозначений

обозначим M3 (0;1) и M4 (0;5) .

Аналогично исследуем участок границы ВС. Линия ВС. Ее уравнение y = 5 или y 5 = 0. (Заметим, что 0 x 6 ). Составляем функцию

Лагранжа.

F(x; y;λ) = x2 + xy + y2 5x 4 y +λ( y 5).

Из условия Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0 получаем систему трех уравнений с

тремя неизвестными

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]