Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metod_fmp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

756.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

мы включаем точки А(-3;-3) и B(−3;4) . Чтобы сохранить единую систему обозначений обозначим M 3 (−3;−3) и M 4 (−3;4) .

Аналогично исследуем участок границы ВС. Линия ВС. Ее уравнение y = 4 или y − 4 = 0 . (Заметим, что −3 ≤ x ≤ 4 ). Составляем функцию Лагранжа.

F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( y − 4 ).

Из условия	∂F	= 0,	∂F	= 0,	∂F	= 0 получаем систему трех уравнений с тремя
	∂x		∂y		∂λ

неизвестными

6x + 2 y +10 = 0,

2x + 4 y +10 + λ = 0,y − 4 = 0.

Найдем x и y . Из последнего уравнения системы следует y = 4 . Тогда из первого уравнения следует x = −3 . Точка M (−3;4) лежит на линии АВ, поэтому

она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения, но она совпадает с точкой В и в число возможных точек включена ранее. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии ВС. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки B(−3;4) и С(4;4). Точка В включена уже ранее. Обозначим

M 5 (4;4) .

Линия

CD.

Ее

уравнение

x = 4

или x − 4 = 0 .

(Заметим,

что

−3 ≤ y ≤ 4 ).

Составляем функцию Лагранжа.

F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( x − 4 ).

Из условия

∂F

= 0,

∂F

= 0,

∂F

= 0 получаем

систему

трех уравнений с тремя

∂x

∂y

∂λ

неизвестными

6x + 2 y +10 + λ = 0,

2x + 4 y +10 = 0,

x − 4 = 0.

Найдем

x и

y .

Из последнего уравнения системы следует

x = 4 .

Тогда из

второго уравнения следует

. Точка

не лежит на линии CD.

y = −

M 4;−

Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии CD. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки С(4;4) и D(4;-3). Точка С включена уже ранее. Обозначим M 6 (4;−3) .

Линия АD.	Ее	уравнение				y = −3 или y +3 = 0 .	(Заметим, что −3 ≤ x ≤ 4 ).
Составляем функцию Лагранжа.
F(x; y;λ) = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y +λ( y +3).
Из условия	∂F	= 0,	∂F	= 0,	∂F	= 0 получаем систему	трех уравнений с тремя
	∂x		∂y		∂λ

неизвестными

6x + 2 y +10 = 0,

2x + 4 y +10 + λ = 0,y +3 = 0.

Найдем

x и y . Из последнего уравнения системы следует

y = −3 . Тогда из

первого

уравнения следует

x = −

. Точка

M 7

лежит

на линии АВ,

−

;−3

поэтому она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии АD. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки А и D. Отметим, что эти точки включены уже ранее.

Вычислим				значения				функции z = 3x2 + 2xy + 2 y2 +10x +10 y в найденных
точках.
Точка M1 (−1,−2)			z(−1;−2) = z1 =-15.
Точка M 2 (−3;−1)			z(−3;−1) = z2					=-5.
Точка M 3 (−3;−3)			z(−3;−3) = z3					=3.
Точка M 4 (−3;4)			z(−3;4) = z4 =45.
Точка M 5 (4;4) z(4;4) = z5 =192.
Точка M 6 (4;−3)			z(4;−3) = z6				=52.
	2				2				40
Точка M 7 −		;−3		z −		;−3	= z7 = −			.
Точка M 7 −	3	;−3		z −	3	;−3	= z7 = −		3	.
	3				3				3

Следовательно, наименьшее значение функции равно (-15) и достигается в точке M1 (−1,−2) , а наибольшее равно (192) и достигается в точке M 5 (4;4) .

В заключении приведем образец выполнения варианта контрольной работы.

Задача 17.. Найти

∂z

, если z

= tg

∂x

∂y

3 y

Решение.

∂z =

∂

(x5 )=

∂x

cos2

∂x

cos2

y ∂x

5x4

cos

∂z

∂

∂y

cos2

∂y

cos2

∂y

3 y

−

cos2

Ответ:

∂z

∂x

cos

∂z

= −

∂y

cos

Задача 18. Применяя правило нахождения частных производных сложных функций, найти ∂∂xz и ∂∂yz , если

z = cos

, где u = (x6

+ y4 ), v = ex2 +xy+2 y2 .

∂z

∂z ,

∂u

∂v

∂u

∂v .

Вычислим отдельно

∂u

∂x

∂y

∂v

∂y

Имеем:

∂z

∂

1 ∂

cos

= −sin

) =

∂u

= −sin

= −

sin

;

∂z

∂

4 ∂

cos

= −sin

∂v

−5

5u4

= = −sin

sin

;

∂∂ux =

∂

(x6 + y4 )= 6x5 ;

∂x

∂∂uy =

∂

(x6 + y4 )= 4 y3 ;

∂y

∂v

∂

(ex2 +xy+2 y2 )= ex2 +xy+2 y2

∂

(x2

+ xy + 2 y2 ) = ex2 +xy+2 y2 (2x + y)

∂x

∂v

∂

(ex2 +xy+2 y2 )= ex2 +xy+2 y2

∂

(x2 + xy + 2 y2 ) = ex2 +xy+2 y2 (x + 4 y)

∂y

Окончательный ответ:

∂z

∂u

∂z

∂v

= −

4u3

sin

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

sin

+xy+2 y

(2x + y) .

∂z

∂u

∂z

∂v

= −

4u3

sin

4 y

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

sin

+xy+2 y

+ 4 y) .

Задача 19. Найти dzdt , если z = sin (x5 y3t6 ), где x = arctg3t, y = ctg5t .

Найдем вначале ∂∂xz , ∂∂yz , ∂∂zt , dxdt , dydt .

∂∂xz = ∂∂x sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )∂∂x (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )y3t6 ∂∂x (x5 )=5x4 y3t6 cos(x5 y3t6 ).

∂∂yz = ∂∂y sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )∂∂y (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )x5t6 ∂∂y (y3 )= 3x5 y2t6 cos(x5 y3t6 ).

∂∂zt = ∂∂t sin (x5 y3t6 ) = cos(x5 y3t6 )∂∂t (x5 y3t6 )=

= cos(x5 y3t6 )x5 y3 ∂∂t (t6 )= 6x5 y3t5 cos(x5 y3t6 ). dxdt = dtd (arctg3t )= 1+19t2 3.

dydt = dtd (ctg5t )= −sin12 5t 5.

Тогда получаем

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt + ∂∂zt =

=5x4 y3t6 cos(x5 y3t6 )1+39t2 −3x5 y2t6 cos(x5 y3t6 )

+6x5 y3t5 cos(x5 y3t6 ).

Задача 20. Дана функция u = x2 y3 + xyz .

sin2 5t +

Найти: а) градиент функции;

бG) производную функции в точке М(1; 1; 2) по направлению вектора

a ={2;−1;2}.

Найдем градиент u .

grad(u)= ∂u ;

∂u

; ∂u

. Вычислим частные производные.

∂∂ux =

∂

∂x

∂y

∂z

(x2 y3 + xyz)= 2xy3 + yz .

∂x

∂∂uy =

∂

(x2 y3 + xyz)= 3x2 y2 + xz .

∂y

∂∂uz =

∂

(x2 y3 + xyz)= xy .

∂z

Тогда

grad(u)={2xy3 + yz;3x2 y2 + xz; xy}.

Полагая x=1, y=1, z=2, получаем grad(u)={4;5;1}.

(gradu aG)

Для вычисления производной используем формулу

∂u

. Получаем

∂s

∂u

4 2 +5 (−1) +1 2

∂s

22 +(−1)2 + 22

Задача 21. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y + xz2 + zy2 −25 = 0 в точке М(3; 2; 1).

Уравнение касательной плоскости может быть записано в виде

∂Φ	(x − x0 ) +	∂Φ	( y − y0 ) +	∂Φ	(z − z0 ) = 0 .
∂x		∂y		∂z

Уравнение нормали, записанное в каноническом виде, определяется соотношениями

x − x0

y − y0

z − z0

∂Φ

∂x

∂y

∂z

Имеем:

∂Φ

∂

(x2 y + xz2

+ zy2

−25)= 2xy + z2

=13 ;

∂x

∂Φ

∂

(x2 y + xz2

+ zy2

−25)= x2 + 2zy

=13 ;

∂y

∂Φ

∂

(x2 y + xz2

+ zy2

−25)= 2xz + y2

=10.

∂z

Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид

13(x-3)+13(y-2)+10(z-1)=0.

Преобразуя это уравнение, получаем окончательный вид

13x+13y+10z-75=0.

Каноническое уравнение нормали имеет вид

x13−3 = y13−2 = z10−1

Задача 22. Вычислить приближенно с помощью дифференциала первого

порядка 1,993 +1,032 .

Рассмотрим функцию z(x; y) = x3 + y2 . В указанном примере требуется вычислить значение функции в точке M1 (x1 ; y1 ) , координаты которой соответственно

равны x1 =1,99 ,

y1 =1,03 .

Рассмотрим близкую точку M 0 (x0 ; y0 ) , в которой вычисление функции не

представляет проблему. В качестве такой точки возьмем

M0 (2;1) , то есть x0

= 2,

=1. Тогда

x =1,99 −2 = −0,01,

y =1,03 −1 = 0,0

Имеем z(x +

x; y +

y) ≈ z(x; y) + dz = z(x; y) +

∂z

x +

∂z

y . Поскольку

∂x

∂y

z(x; y) =

+ y

то

∂z

3x2

∂z

. Тогда

∂x

2 x3 + y2

∂y

x3 + y2

3x 2

(x0 +

+( y0 +

≈

+ y0

x +

y .

x 3

+ y 2

2 x 3 + y 2

Поскольку x0 = 2,

y0 =1,

x = −0,01,

y = 0,03, то

1,993 +1,032 =

(2 −0,01)3 +(1+0,03)2

≈

3 22

≈ 2

(−0,01) +

(0,03) =

2 23 +12

23 +12

=3+ −0,06 +0,03 =1,99 .

Задача 23. Найти d 2 z , если z = e

Найдем полный дифференциал первого порядка.

∂

dz =

e y

dy = e y

dx + −

e y

∂x

∂y

d 2 z = d (dz) =

∂

(dz)dx +

∂

(dz)dy =

∂y

∂

∂x

∂

dx + −

dx+

dx + −

∂y

∂x

dx + −

−

dy dx +

+ e

−

−e

−

dx +

−

x
	2		x2
		e	y	dy
y2		e	y	dy
y2

	x	2
	x
−			dy
−	y2		dy
	y2

dy =

Группируя слагаемые, получаем

d 2 z = exy2

	x2	2

+ e y		2x
		3
		y

2		2			x2	x		x	3

4x	+		dx2	− 4e y			+			dxdy +
2		y				2		y	3
y						y

+x4 dy2 y4

Задача 24. Исследовать на экстремум функцию

z = −4x2 + 2xy − y2 + 2x + 4 y .

Вычислим частные производные.

∂∂xz = −8x + 2 y + 2 . ∂∂yz = 2x −2 y + 4.

Для определения критических точек имеем систему уравнений

−8x + 2 y + 2 = 0,			8x −2 y = 2,
	−2 y	+ 4 = 0.
2x			2x −2 y = −4.

Используя формулы Крамера, получаем

−2

= −12 ,

−2

x =

−2

= −12,

−4

−2

y =

= −36, x =

=1, y =

= 3. Следовательно, критической

−4

точкой является точка М(1;3).						∂2 z
A =	∂2 z	=	∂	(−8x + 2 y + 2)	= −8, B =		=	∂	(−8x + 2 y + 2)	= 2,
	∂x2		∂x			∂x∂y		∂y

C= ∂2 z = ∂ (2x −2 y + 4) = −2 . ∂y2 ∂y

Тогда AC − B2 =12 > 0, следовательно, M (1;3) является точкой

экстремума. Поскольку A = −8 < 0, то эта точка является точкой максимума.

Задача 25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z= x2 + xy + y2 −5x −4 y

вобласти, ограниченной линиями: x=0, y=−1, x=6, y=5.

Схематично область изображена на рисунке. 1. Найдем точки экстремума функции.

Из условия ∂∂xz = 0 , ∂∂yz = 0 получаем систему уравнений.

2x + y −5 = 0,	2x + y = 5,
	,	+ 2 y = 4.
x + 2 y −4 = 0.	x	+ 2 y = 4.
Решаем эту систему.		=	2	1	= 3,	x =	5	1	= 6 ,	y =	2	5	= 3,
Решаем эту систему.		=	2	1	= 3,	x =	5	1	= 6 ,	y =	2	5	= 3,
			1	2			4	2			1	4

x = 2 , y =1. Найденная точка M1 (2,1) лежит внутри области,

поэтому она находится среди точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения.

2. Далее исследуем границу области. Она состоит из четырех линий, каждую из которых исследуем отдельно.

Линия АВ. Ее уравнение x = 0. (Заметим, что −1 ≤ y ≤ 5). Составляем функцию Лагранжа.

F(x; y;λ) = x2 + xy + y2 −5x −4 y +λx .

Из условия ∂∂Fx = 0, ∂∂Fy = 0, ∂∂Fλ = 0 получаем систему трех уравнений с

тремя неизвестными

2x + y −5 +λ = 0,x + 2 y −4 = 0,

x = 0.

Найдем x и y . Из последнего уравнения системы следует x = 0. Тогда из второго уравнения следует y = 2 . Точка M2 (0;2) лежит на линии

АВ, поэтому она ходит в число тех точек, в которых может достигаться наибольшее или наименьшее значения. Кроме того, наибольшее или наименьшее значения могут достигаться на границах линии АВ. Поэтому в число возможных точек мы включаем точки А(0;-1) и B(0;5) . Чтобы сохранить единую систему обозначений

обозначим M3 (0;−1) и M4 (0;5) .

Аналогично исследуем участок границы ВС. Линия ВС. Ее уравнение y = 5 или y −5 = 0. (Заметим, что 0 ≤ x ≤ 6 ). Составляем функцию

Лагранжа.

F(x; y;λ) = x2 + xy + y2 −5x −4 y +λ( y −5).

Из условия ∂∂Fx = 0, ∂∂Fy = 0, ∂∂Fλ = 0 получаем систему трех уравнений с

тремя неизвестными

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.20151.42 Mб116Metodichka_2005_Excel_Word_i_Kurs_rabota_2 (3).doc
#
15.03.2016940.08 Кб7Metodichka_po_D_R_1_1_5_int.docx
#
17.12.20181.61 Mб4metodichka_po_matematike_dlja_pz.docx
#
09.04.2015803.84 Кб171Metodichka_по англ.doc
#
09.04.2015297.98 Кб6Metodich_ukazania_1.doc
#
15.03.2016756.7 Кб8metod_fmp.pdf
#
15.03.20161.81 Mб4metod_kki.pdf
#
15.03.20161.6 Mб7metod_noi.pdf
#
09.04.2015432.33 Кб18Metod_rek_k_prakt_bakal.docx
#
23.08.201965.02 Кб2Metod_ukaz_kontr_rab_5416_s_sayta_1.doc
#
10.11.20195.05 Mб2Metod_ukaz_po_dom_rab_EP_(red).doc