4.3. Формальные теории. Основные понятия и определения

Исторически понятие формальной теории было разработано в период интенсивных исследований в области оснований математики для формализации собственно логики и теории доказательства. Сейчас этот аппарат широко используется при создании специальных исчислений для решения конкретных прикладных задач.

Выводимость

Пусть F₁, ...,F_n,G- формулы теории Т, то естьF₁, ...,F_n, G являются ППФ. Если существует такое правило выводаR, что (F₁, ...,F_n,G)ÎR, то говорят, что формулаGнепосредственно выводимаиз формулF₁, ...,F_nпо правилу выводаR. Обычно этот факт записывают следующим образом:

, где формулы F₁, ..., F_nназываютсяпосылками, а формулаG–заключением.

ЗАМЕЧАНИЕ.Обозначение правила вывода справа от черты, разделяющей посылки и заключение, часто опускают, если оно ясно из контекста.

Если в теории Т существует вывод формулы Gиз формулF₁, ..., F_n, то это записывают следующим образом:

F₁, ...,F_n├ _Т G, где формулыF₁, ..., F_nназываютсягипотезамивывода. Если теория Т подразумевается, то ее значение обычно опускают.

Если ├ _Т G, то формулаGназываетсятеоремойтеории Т (то есть теорема – это формула, выводимая только из аксиом, без гипотез).

Если Г├ _Т G, то Г,D├_Т G, где Г иD- любые множества формул (то есть при добавлении лишних гипотез выводимость сохраняется).

Правила вывода делятся на прямые и непрямые. Прямые правила вывода – это правила непосредственного перехода от одних формул к другим, т.е. переход от посылки к заключению. Им сопоставляются определенные шаги формального вывода. Непрямые правила вывода суть правила перехода от одних формальным выводам к другим. Таким правилам соответствуют мета утверждения о преобразованиях одних формальных выводов в другие.

Еще одним интересным способом рассуждения, который может быть оформлен в виде непрямого производного правила, является метод доказательства от противного. Суть его сводится к следующему. Пусть нам надо доказать вывод формулы А из посылок Г. Тогда применяют следующий формальный прием: отрицание формулы А добавляют к множеству формул Г и пытаются получить из посылок А, Г противоречие. Если такое противоречие получено, то это означает, что можно построить вывод А из Г

Синтаксис

Синтаксисом называется набор правил конструирования ППФ.

Семантика

Семантикой называется набор правил интерпретации формул.

Интерпретация

Интерпретацией называется приписывание формуле одного из двух значений истинности: 1 (истинно) или 0 (ложно). Композиционность семантики заключается в том, что приписываемое значение истинности некоторой формулы зависит от значений истинности составляющих высказываний и структуры формулы.

Общезначимость и непротиворечивость

Формула называется общезначимой (илитавтологией), если она истинна в любой интерпретации. Формула называетсяпротиворечивой, если она ложна в любой интерпретации. Выполнимой называется формула, для которой существует хотя бы одна интерпретация, для которой она истинна.

Формула Gназываетсялогическим следствиеммножества формулG, еслиGвыполняется в любой моделиG.

Фундаментальная проблема логики, называемая проблемой дедукции, состоит в том, чтобы определить, является ли формула Gлогическим следствием множества формул Г. Само слово дедукция (лат.deductio– выведение) определяется как логическое умозаключение от общих суждений к частным или другим общим суждениям. Если логическим следствием из множества формул Г является формула А, имеющая значение истинности Л (ложь или 0), то говорят, что формула А невыполнима. Именно в этом и состоит принцип дедукции: формула А является логическим следствием множества формул Г тогда и только тогда, когда ГАневыполнимо.