12. Главные и эквивалентные напряжения

Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.

Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого параллелепипеда, то действие на него окружающей среды заменяется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.

Рис. 12.1

В силу закона парности касательных напряжений

; ; . (12.1)

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений

(12.2)

На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой  имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение _ и касательное напряжение _(рис. 12.2) с равнодействующей S_. Проекции этой равнодействующей на координатные оси S__x, S__y, S__z связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):

(12.3) Рис. 12.2.

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения ₁, ₂ и ₃. При этом имеется в виду, что ₁₂₃. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение и .

Направляющие косинусы l_k , m_k и n_k нормалей главных площадок _к определяются из решения системы уравнений:

(_х – _k) l_k + _xy m_k + _xz n_k = 0;

_xy l_k + (_y – _k) m_k + _yz n_k = 0;

_xz l_k + _yz m_k + (_z – _k) n_k = 0;

l_k² + m_k² + n_k² = 1. (12.4)

Из (4) следует, что главные напряжения _k (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:

. (12.5)

Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид

, (12.6)

а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант равен утроенному среднему напряжению (гидростатическому давлению) .

Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:

 – угол (нутации) между положительными направлениями оси Z и ₃ (0);

 – угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и ₁О₂ так, чтобы ОА, Z и ₃ образовали правую тройку, при этом угол  увеличивается от оси X к оси Y (02);

 – угол (чистого вращения) между осями ₁ и А, который увеличивается от ₁ к ₂ (02).

Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи