§ 3. Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему материальных точек массами т₁, т₂ ... ,т_n и движущихся со скоростями ₁,₂ ...,_n.ПустьF'₁,F'₂, ... ,F'_n — равнодействующие внутренних консервативны сил, F₁,F₂...,F_n —равнодействующие внешних сил, а f₁,f₂...,f_n —равнодействующие внешних консервативных сил. Второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

, ,

………………

,

Умножим каждое из уравнений на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим:

, ,

………………

,

Сложив эти уравнения, получим:

(3.1)

.

где dЕ_к – кинетическая энергия системы.

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергииdE_пот системы.

Правая часть равенства (3.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

(3.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2:

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.2) следует, что:

,

откуда

, (3.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости. Рис. 3.1 поясняет решение этой задачи.

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами инаправленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно:

.

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Механика твёрдого тела

§ 1. Момент инерции

Моментом инерции системы (твёрдого тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В качестве примера найдём момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси.

Разобьём цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра:

(т.к. dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объём . Если – плотность материала, то или. Тогда момент инерции сплошного цилиндра:

но т.к. – объём цилиндра, то его масса, а момент инерции:

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенную с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями:

Значения моментов инерции некоторых тел приведены в табл. 1 (тепа считаются однородными, т — масса тепа).

Таблица 1

№ п.п.	Тело	Положения оси	Момент инерции
	Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
	Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
	Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходят через его середину
	Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
	Шар радиусом R	Ось проходят через центр шара