Методы и алгоритмы анализа основных характеристик радиоэлектронных устройств
3.1. Принципы построения математической модели
Будем рассматривать устройства, построенные на дискретных R, L, C, элементах, а так же активных приборах.
Проанализировать устройство - это значит, по заданной схеме и входному воздействию найти выходной отклик. Результатом анализа являются найденные напряжения во всех узлах схемы и токи во всех ее ветвях. Прежде чем приступать к анализу устройства необходимо построить его математическую модель, а затем описать ее с помощью математических уравнений, связывающих токи и напряжения. Математическая модель строится на основе базовых элементов математических моделей. Связь между токами и напряжениями для базовых элементов математических моделей рассмотрена на первой лекции. Модели активных приборов строятся с помощью управляемых источников тока и напряжения. Так, например, простейшая модель операционного усилителя может быть построена с помощью источника тока, управляемого напряжением рис.3.1.
Рис. 3.1.
,
.
В качестве независимых источников используются независимые источники тока и напряжения, эквивалентные схемы которых изображены на рис.3.2.а.б.
а) б)
Рис.3.2.
3.2 Линейные цепи.
При анализе линейных цепей будем использовать метод узловых потенциалов и первый закон Кирхгофа, который гласит, что сумма токов ветвей, образующих данный узел равна нулю.
Метод узловых потенциалов заключается в следующем:
Нумеруются все узлы схемы.
Токи в ветвях схемы выражаются через узловые напряжения.
Записывается первый закон Кирхгофа для каждого узла.
Так как число узлов схемы n равно числу узловых напряжений, то получается n уравнений для n неизвестных узловых напряжений.
Рассмотрим пример линейной цепи, изображенный на рис.3.3
Рис.3.3
Опишем ее с помощью системы алгебраических уравнений по методу узловых потенциалов
Y1 U1 + Y12(U1 – U2) + Y13(U1 – U3) = I1
Y2 U2 + Y12(U2 – U1) + Y23(U2 – U3) = 0
Y3 U3 +Y13(U3 – U1) + Y23(U3 – U2) = 0
Преобразуем эту систему
(Y1 +Y12 +Y13)U1 –Y12 U2- Y13 U3 = I1
- Y12 U1+(Y2 +Y12 +Y23)U2 –Y23 U3 = 0
-Y13 U1-Y23 U2+(Y3 +Y13 +Y23)U3 = 0
Запишем матрицу Y
-
Y1 +Y12+ Y13
- Y12
- Y13
Y =
- Y12
Y2 +Y12 + Y23
- Y23
- Y13
-Y23
Y3 +Y13 + Y23
Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде
Y U = I ,
Где
U1
I1
U
= U2
,
=
0 .
U3 0
Матрица Y строится по следующему правилу
Проводимости, связывающие данный узел i с землей записываются со знаком плюс на главной диагонали в ячейке с номером i.
Проводимости, связывающие узел i с узлом j записываются со знаком плюс на главной диагонали в ячейках i i и j j и со знаком минус в ячейках ij и ji.
С помощью этого правила можно легко построить матрицу Y и записать уравнение в матричном виде.
В общем случае проводимости Y являются частотно-зависимыми Y=Y(jω), т.к. линейная цепь может содержать реактивные элементы, поэтому здесь речь идет о частотном анализе.