Вторая теорема

тогда

Главные моменты внешних сил относительно неподвижного центра О и подвижного центра масс С имеют зависимость, установленную в статике:

Учитывая теорему об изменении кинетического момента механической системы:

,

получаем:

следовательно:

терема

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно центра масс системы, в её относительном движении по отношению к этому центру, геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы, относительно центра масс.

или в проекциях на оси координат:

Здесь - кинетические моменты механической системы относительно подвижных осей.

Эти уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно любой оси, проходящей через центр масс системы, в её относительном движении по отношению к центру масс, равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы относительно этой оси.

Из вышеприведённой системы уравнений получаем третье дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения:

(8.4)

Здесь - кинетический момент тела относительно оси Z₁ в относительном движении тела по отношению к центру масс: ось cZ проходит через центр масс тела перпендикулярно к чертежу.

- главный момент внешних сил, приложенных к телу, относительно той же оси Z_1.

Так как относительное движение тела по отношению к центру масс, то есть по отношению к подвижной системе осей CХ₁Y₁Z₁ является вращением вокруг оси Z₁, то кинетический момент , определяется по формуле (8.2):

Дифференцируем по времени:

Подставляя в уравнение (8.3), получим:

Таким образом, дифференциальные уравнения плоского движения твёрдого тела имеют следующий вид:

(8.5)

Установим условие, при котором движение твёрдого тела является поступательным. При поступательном движении сферического движения тела вокруг центра масс не происходит, и его кинетический момент относительно центра масс за рассматриваемый промежуток времени равен нулю.

Согласно следствию из теоремы о кинетическом моменте системы в относительном движении по отношению к центру масс имеем: если

, то

Таким образом, для того, чтобы твёрдое тело двигалось поступательно, необходимо, чтобы в начальным момент движения кинетический момент тела относительно центра масс был равен нулю, и главный момент внешних сил относительно центра масс тела всё время оставался равным нулю.

2. Дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела (динамические уравнения Эйлера)

(6.9)

где – моменты инерции тела относительно его главных осей инерции в т.О;

- главные моменты внешних сил, приложенных к телу, относительно этих осей;

- проекции вектора угловой скорости тела на оси Их можно определить:

где - углы Эйлера.

Дифференциальные уравнения (6.9) сферического движения твёрдого тела называются динамическими уравнениями Эйлера. Интегрирование этих уравнений связано с большими трудностями. Поэтому рассматриваются только частные случаи сферического движения.