Задача 5.Определить натяжение нити математического маятника длинойlи весомG, если качания маятника совершаются согласно уравнению:

,

где  — угол отклонения маятника от вертикали, ₀ и k — постоянные величины.

Решение. К маятнику приложены: вес G и реакция нити k. Покажем на рисунке эти силы, а так же составляющие ускорения маятника и.

Составим дифференциальное уравнение движения маятника в проекции на главную нормаль .

.

И

Рис. 4.

з заданного закона движения маятника проекция его ускорения на главную нормаль равна:

.

Тогда:

,

откуда:

.

Так как по условию , то .

Окончательно находим:

_. Наибольшее значение реакции нити наблюдается в отвесном положении, т.е. когда kt = n:

.

3.2. Примеры решения второй задачи динамики точки

Задача 6. Материальная точка массой m = 0,5 кг движется под действием постоянной силы F = 10 Н. В начальный момент времени скорость точки равна V₀ = 2м/с. Определить скорость точки, когда она пройдет расстояние S = 5 м.

Решение. Так как скорость точки требуется найти как функцию расстояния, то по формуле (10) имеем:

,

т. е.:

,

откуда:

м/с.

Задача 7. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая с течением времени и по истечении Т секунд обращающаяся в нуль. Какой скорости достигнет точка по истеч

Рис. 5.

енииТ секунд и какой путь она пройдет за это время, если в начальный момент (t = 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно .

Решение. Так как сила , действующая на материальную точку, убывает равномерно с течением времени, то:

,

где b = const.

В начальный момент ускорение точки равно , поэтому. Кроме того, приt = T по условию задачи F = 0, поэтому:

.

Отсюда:

,

и:

.

Следовательно, дифференциальное уравнение движения точки запишется так:

,

или:

.

Интегрируя это уравнение:

,

получим:

.

Так как , то:

,

откуда

.

Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до x и от 0 до t, находим:

,

.

Чтобы найти скорость V₁ и пройденный путь x₁ к моменту времени Т, достаточно в предыдущих равенствах положить время t = Tc.

Тогда имеем:

, .

Задача 8. Материальная точка М массой m движется прямолинейно по оси Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой F, пропорциональной массе m и расстоянию, причем коэффициент пропорциональности равен

k

Рис. 6.

= 4. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно x₀ = 5 м, а начальная скорость V₀ = 2 м/с.

Решение. Первый способ. По условию задачи , поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид:

или:

.

Так как в данном случае , то по уравнению (15) имеем:

,

откуда:

,

или:

,

т.е.:

,

и:

.

Отсюда:

,

т.е.:

,

или:

.

Следовательно:

.

Из этого соотношения находим:

,

откуда:

,

или:

.

Второй способ. Так как в данном случае функция является линейной функцией отх, то дифференциальное уравнение (15) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения этого уравнения воспользуемся теорией интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и составим соответствующее характеристическое уравнение:

.

Найдем его корни: . Следовательно, общее решение выразится так:

.

Постоянные С₁ и С₂ находим по начальным условиям движения. Для этого сначала найдем скорость точки, продифференцировав последнее уравнение по времени:

.

В начальный момент согласно условию имеем:

.

Следовательно:

, ,

откуда:

С₁ = 3, С₂ = 2;

таким образом:

.

Задача 9. Материальная точка массы m = 0,1 кг движется прямолинейно под действием постоянной силы F = 0,3 Н. Движение происходит в среде, сила сопротивления которой выражается функцией скорости в виде:

,

где V — скорость точки. Найти закон движения точки, если начальная скорость равна нулю.

Р

Рис. 7.

ешение. Изобразим силы, приложенные к материальной точке. Сила направлена в сторону движения, а сила– противоположно скорости.

В соответствии с уравнением (3) дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:

.

Так как в данном случае равнодействующая всех приложенных сил есть функция скорости, т.е.:

,

то по уравнению (18) имеем:

,

откуда:

.

Из этого уравнения находим V:

.

Воспользуемся далее уравнением (20) и найдем искомый закон движения точки:

.

Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменных:

,

тогда:

.

Следовательно:

.