Bilety / 41

Если функция  дифференцируема в точке  из ее области определения , то линейная относительно приращений  часть полного приращения функции, то есть величина называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается .

Учитывая замечание 1 раздела 6.2.2. ,фрмула для дифференциала в точке  имеет вид:

.

Поскольку для независимых переменных , , то последнюю формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как

.

В частности, для дифференцируемой функции двух переменных  формула ее дифференциала в каждой точке дифференцируемости имеет вид:

,

или

,

  Пример 1.

Найти значение дифференциала функции  в точке , если приращения , .

  Решение.

По формуле полного дифференциала . Частные производные равны: ,   . Вычислим значения частных производных в точке : , . Подставляя эти значения, а также значения  и  в формулу дифференциала, получим .

  Теорема 1.

Дифференциал  обладает свойством инвариантности формы, то есть формула для него сохраняет свой вид, если  не простые независимые переменные, а являются функциями переменных . В этом случае дифференциалы , а в свою очередь вычисляются по формулам , .

Доказательство этой теоремы легко провести самостоятельно.

Если  и  - функции  переменных, то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:

1)   , где ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   .

Эти правила удобно использовать при вычислении дифференциалов сложных функций.

  Пример 2.

Найти дифференциал функции трех переменных .

  Решение.

.