Дифференциальные_и_разностные_уравнения

I Содержание дисциплины:

Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме). Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных дифференциалах). Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.

2.Комплексные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в

комплексных числах.

3. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.

4.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частных решений неоднородного уравнения.

5.Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.

6.Методы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

7.Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (решение системы, фазовая траектория, положения равновесия, циклы). Устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Полный анализ однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для случая двух неизвестных. Исследование нелинейных автономных систем вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.

Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.

1.Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.

2.Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой). Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).

3.Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.

4.Линейные разностные (рекуррентные) уравнения. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.

5.Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений. Общие понятия

исвойства (матрица системы, решение системы, начальные условия). Решение подстановкой. Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Методы решения систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейной однородной системы. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Частные решения. Элементы количественного и качественного анализа нелинейных разностных (рекуррентных) уравнений. Приложения к исследованию экономических моделей.

II. Вопросы к зачету (экзамену)

1.ДУ первого порядка, его решение, геометрическое истолкование ДУ и его решений

2.Интегрирование некоторых типов ДУ первого порядка:

a.с разделяющимися переменными

b.однородные

c.линейные

d.Бернулли

e.в полных дифференциалах

3.ДУ высших порядков, допускающих понижение порядка

4.Линейные однородные ДУ высших порядков, в частности, второго порядка:

a.линейная зависимость и независимость функций

b.вронскиан, необходимое и достаточное условие линейной зависимости функций

c.определитель Вронского решений линейного однородного ДУ второго порядка

d.теорема о структуре общего решения

5.Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами:

a.характеристическое уравнение, характеристические числа

b.общее решение при r1 r2 и r1 r2 (вещ.)

c.общее решение при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения, его вещественная форма

6.Линейные неоднородные ДУ второго порядка, теорема о структуре общего решения, теорема о суперпозиции решений

7.Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Отыскание частного решения для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов

8.Обобщение результатов на линейные уравнения n-го порядка

9.Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-го порядка

10.Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы функций

11.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение

12.Фундаментальная система решения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка

13.Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

14.Построение общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

15.Определение линейно зависимых и независимых функций. Первое свойство линейной зависимости

16.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

17.Уравнение Бернулли

18.Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n- го порядка

19.Уравнение в полных дифференциалах

20.Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка со специальной правой частью f (x) e x Pu(x)

21.Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

22.Построение фундаментальной системы решений для ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами (D=0)

23.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

24.Уравнения в полных дифференциалах

25.Теорема о суперпозиции решений линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

26.Задача Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение

27.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

28.Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.

29.Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

30.Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.

31.Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.

32.Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений

III. Список литературы:

Базовые учебники

1.Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2.Калягин В.А, Козырев О.Р., Куркин А.А., Петрухин Н.С. Дифференциальные и разностные уравнения. Н. Новгород: НГТУ, 2002.

3.Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных уравнений. М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 1998.

4.Учебные материалы по курсу Дифференциальные и разностные уравнения».

Составители: Андреев В.Г., Юркчан А.Г., Чернявский В.М.-М.: Изд-во ВШЭ, 1996 .

5.Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению под редакцией Романко В.К. – М.-С.Пб.: Физматлит,

2002.

6.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.:

Наука, 1992.

7.Калягин В.А., Тютин В.В. Расчетные задания по дифференциальным уравнениям. Н.Новгород: НФ ГУ ВШЭ, 2004.

Дополнительная литература:

8.Тихонов А.Н. Васильев А.Б. Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.

Наука, 1979.

9.Самойленко А.М. Кривошея С.А. Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Высшая школа 1989.

10.Gandolfo G. Economic dynamics. 1992

11.Chiang A.C. Fundamental methods of mathematical economics. Mc Graw Hill.

1984.

IV. Контрольная работа.

Последовательность задач, а также их содержание, в данной контрольной работе полностью согласуются с программой соответствующего курса. Первый пример является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными; второй – уравнением Бернулли; третий – дифференциальным уравнением высшего порядка, допускающим его понижение, четвертый – линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

При решении контрольной работы студент должен продемонстрировать не только практические навыки решений дифференциальных уравнений, но и теоретические знания основных положений теории: как-то, общий интеграл дифференциальных уравнений, общее решение, решения задачи Коши, структура общего линейного дифференциального неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Студент, претендующий на оценку по высшему уровню, должен решить все четыре задачи, по среднему уровню – три задачи, включая четвертую, по нижнему уровню – любую из первых трех задач и последнюю.

Студент, решивший менее двух задач, получает за контрольную работу «незачет», а на экзамене – обязательно дополнительные задачи по данной теме.

Номер варианта равен последней цифре зачетки.

Задания для контрольной работы.

Вариант 1.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y xy 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

y xy (1 x)e x y2 , y(0) 1.

3. Найти общее решение уравнения.

y'''tgx y'' 1.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' 3y 2y 1 x2 .

Вариант 2.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y yctgx 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

xy y 2 y2 ln x, y(1) 12 .

3. Найти общее решение уравнения.

xy''' y'' 1x 0 .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' y x2 x .

Вариант 3.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. y y cos x 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

2(xy y) xy 2 , y(1) 2 .

3. Найти общее решение уравнения.

y'''ctgx y'' 1.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' y 5x2 1.

Вариант 4.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y ytgx 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

3(xy y) y 2 ln x, y(1) 3 .

3. Найти общее решение уравнения.

(1 cos x) y''' sin xy'' .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

7 y'' y 12x .

Вариант 5.

5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

6. Найти решение задачи Коши.

xy y xy 2 , y(1) 1.

7.Найти общее решение уравнения.

xy''' 2 y'' x22 .

8.Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' 13y 12y x 1.

Вариант 6.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y xy 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

xy y y2 lg x, y(1) 1.

3. Найти общее решение уравнения.

y'''ctg5x 5y'' .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' 5y 6y 6x2 2x 5 .

Вариант 7.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y 2x 5 y 0 . x2

2. Найти решение задачи Коши.

2( y y) xy 2 , y(0) 2 .

3. Найти общее решение уравнения.

(1 sin x) y''' cos xy'' .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' y 6x 3x .

Вариант 8.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y xy 0 .

2. Найти решение задачи Коши.

y y xy 2 , y(0) 1.

3. Найти общее решение уравнения.

(x 1) y''' y'' (x 1) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y'' y x .